Lineárisan függő és lineárisan független vektor
Definíció. Egy lineáris kombinációja egy 1 x 1 +. + Xn egy úgynevezett triviális. ha minden együttható x 1 x n nulla.
Definíció. Egy lineáris kombinációja egy 1 x 1 +. + Xn egy úgynevezett triviális. Ha egy vagy több együttható x 1 x n nem nulla.
Definíció. Vektor egy 1. egy úgynevezett lineárisan függetlenek. ha nincs nem-triviális ezek kombinációja vektorok egyenlő a nulla vektor.
Definíció. Vektor egy 1. egy úgynevezett lineárisan függ. ha van egy nem-triviális ezek kombinációja vektorok egyenlő a nulla vektor.
Tulajdonságok lineárisan függő vektorok:
A 2-D és 3-dimenziós vektorok.
Két lineárisan függő vektorok - esik. (Kollineáris vektor - lineárisan függ.).
3-dimenziós vektorok.
Három lineárisan függő vektorok - egy síkban vannak. (Három síkban vektorok - lineárisan függ.)
Egy N-dimenziós vektorok.
n + 1 vektor mindig lineárisan függ.
Példák feladatok lineáris függés és lineáris függetlensége vektorok:
Példa 1. Annak ellenőrzése, hogy a vektor a = b =, c = d = lineárisan független.
A vektorok lineárisan függő, mert a dimenziója a vektorok kisebb, mint a vektorok számát.
Példa 2. Ellenőrizze, hogy a vektor a = b = c = lineárisan független.
Megoldás: Keressük az az együtthatók amelyben egy lineáris kombinációja ezen vektorok egyenlő lesz a nulla vektor.
Ez a vektor egyenlet felírható egy lineáris egyenletrendszer
Ez a döntés azt mutatja, hogy a rendszer megoldások sokaságát, vagyis nincs kombinációja értékek nullára egészek x 1. x 2. x 3 úgy, hogy a lineáris kombinációja vektorok egy. b. c egyenlő a nulla vektor, például:
Ez azt jelenti, egy. b. c lineárisan függ.
Válasz: vektor. b. c lineárisan függ.
Példa 3. Ellenőrizzük, hogy a vektort lesz =, b =, c = lineárisan független.
Megoldás: Keressük az az együtthatók amelyben egy lineáris kombinációja ezen vektorok egyenlő lesz a nulla vektor.
Ez a vektor egyenlet felírható egy lineáris egyenletrendszer