Vektorok, alapvető tulajdonságai vektorok
Meghatározása a rendezett halmaz (x1. X2. X n) n valós számok azokra mint N-dimenziós vektort. és a számok xi (i =) - alkatrészek vagy koordinátáit a vektor.
Példa. Ha például valamilyen autógyárat annak köszönhető, hogy kiadja a műszak 50 autó, 100 teherautó, 10 busz, 50 rész készletek személygépkocsik és 150-készletek, a gyártási program a teherautók és buszok a növény lehet írni, mint egy vektor (50, 100 , 10, 50, 150), amelynek öt összetevő.
Megnevezések. Vektorok képviseli félkövér kisbetűk vagy betűk egy rúddal vagy nyíl a tetején, például egy vagy. Két vektor azt mondják, hogy egyenlő. ha ugyanaz a komponensek számát és azok összetevői egyenlő.
A vektor komponensek nem cserélhetők fel, például, (3, 2, 5, 0, 1) és (2, 3, 5, 0, 1) a különböző vektor.
Műveletek vektorokkal. A terméket a vektor x = (x1. X2. Xn) egy valós szám # 955; Ez egy vektor # 955; X = ( # 955; x1. # 955; x2. # 955; xn).
A tér vektorok. N dimenziós vektort prostranstvoR n értéke a fenti, mint a beállított n-dimenziós vektorok, amelyek a műveletek a szorzás valós számok és kívül.
Gazdasági illusztráció. Gazdasági illusztrációja egy n-dimenziós vektortér: a tér áruk (termékek). Kevesebb áru fogjuk olyan áru vagy szolgáltatás hirdetést egy bizonyos időben egy bizonyos helyen. Tegyük fel, hogy van egy véges számú készpénz termékek N; összegét mindegyikük vásárolt a fogyasztó sorozata jellemzi, az áruk
ahol xi jelöli száma az i-edik előny, megszerezte a fogyasztó számára. Feltételezzük, hogy minden termék rendelkezik azzal a tulajdonsággal egy tetszőleges oszthatóság, úgyhogy lehet megvásárolni bármely nem negatív mennyiségű mindegyikre. Akkor az összes lehetséges készletek áruk vektorok áru C =
Lineáris függetlenség. e1 rendszer. e2. em n-dimenziós vektorok nevezzük lineárisan függ. Ha vannak számok # 955 1. 955 # 2. # 955 m. amelyek közül legalább az egyik értéke nullától eltérő, hogy az egyenlőség # 955 1e1 + # 955 2e2 +. + # 955 mem = 0; különben a rendszer vektorok lineárisan független. vagyis ez az egyenlőség csak akkor lehetséges, ha az összes. A geometriai jelentése lineáris függés vektorok R 3. értelmezni, mint irányított szegmensek, illusztráljuk a következő tétel.
1. Tétel A rendszer, amely egy egyetlen vektorban lineárisan függ, ha, és csak akkor, ha a vektor nulla.
Tétel 2. Annak érdekében, hogy a két vektor lineárisan függ, ha, és csak akkor, ha egy egyenesbe esik (párhuzamos).
3. Tétel. Ahhoz, hogy a három vektorok lineárisan függő, ha, és csak akkor, ha egy síkban vannak (közös síkú).
A bal és jobb oldali három vektor. Trojka nem egy síkba eső vektorok a, b, c az úgynevezett jobb. Ha a megfigyelő a közös eredetük megkerülve mindegyik vektor a, b, c, ebben a sorrendben úgy tűnik, hogy kötelezzék el az óramutató járásával megegyező. B Ellenkező esetben, a, b, c - bal tripla. Rendben (vagy balra) vektor háromágyas nevezzük odinakovoorientirovannymi.
Bázis és koordinátákat. Trojka E1, E2, E3 noncoplanar vektorok R3 nevezzük alapon. és magukat vektorok E1, E2, E3 - alapanyagok. Bármely olyan vektor lehet egy egyedileg elbontjuk alapon vektorok, hogy képviseli, mint
Ortonormált bázis. Ha a vektorok E1, E2, E3 és kölcsönösen merőleges hossza mindegyik egyenlő egység, az alapja az úgynevezett ortonormált. és a koordinátákat x1. x2. x3 - téglalap alakú. Az alapja vektorok egy ortonormáiis bázis fogjuk jelölni i, j, k.
Feltesszük, hogy a tér R3 jelentése jobb Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer i, j, k>.
Proizvedenie.Vektornym vektor termék a vektor és a b vektor a vektor C. ami által meghatározott az alábbi három feltétel:
1. A hossza a vektor C számszerűen egyenlő a területet a paralelogramma által alkotott a és b vektorok, R. F.
c = | a || b | sin (a ^ b).
2. A c vektor merőleges az egyes a és b vektorok.
3. A vektorok a, b és c. Taken a megadott sorrendben, így egy jobbkezes.
A vektort a C termék bevezetjük jelölést c = [ab], vagy
c = a × b.
Ha a vektorok a és b egy egyenesbe esik, akkor a sin (a ^ b) = 0, és [AB] = 0, különösen, [AA] = 0. A vektor előállítása Az egység vektorok: [ij] = K, [jk] = i. [Ki] = j.
A kevert termék. Ha a kereszt terméket két a és b vektorok scalarly szorozva egy harmadik c vektor, hogy a termék a három vektort az úgynevezett kevert termék, és jelöljük a b c.
A kevert termék egy egyszerű geometriai értelmezése - ez egy skalár, az abszolút érték egyenlő a térfogatának a paralelepipedon épített három adatot vektorok.
Ha a vektor képezi egy jobbkezes, akkor összekeverjük a termék rendelkezik egy pozitív szám egyenlő a megadott mennyiség; ha három a, b, c - bal, majd a b c <0 и V = - a b c. следовательно V = |a b c|.
Koordinátái a vektorok az első fejezetben a feladatok feltételezetten képest rögzített jogot a ortonormált bázis. Egység vektor kollineáris vektorok és jelöljük, mint egy. A szimbólum r = OM jelöli a sugara vektor egy M pont, és a szimbólumokat, AB, vagy | a |. | AB | A modulok azonosított vektorok, és az AB.
Primer1.2. Find közötti szög a vektorok egy = 2m + 4n, és b = m-n. ahol m és n - egység vektorok és az a szög között m és n jelentése 120.
1.3 példa. Ismerve a vektort AB (-3, -2,6) és BC (-2,4,4), kiszámítja a hossza AD ABC háromszög magassága.
Határozat. Kijelölő ABC háromszög területe az S, kapjuk:
S = 1/2 ie AD. Ezután AD = 2S / BC, BC = = = 6,
S = 1/2 | AB × AC | . AC = AB + BC. átlagvektornak AC koordinátái
.
Primer1.4. Mivel két vektor a (11,10,2) és b (4,0,3). Find egység c vektor, ortogonális a és b vektorok, és úgy irányítjuk, hogy egy rendezett hármas a vektorok a, b, c volt jobb.
Határozat. Legyen a koordinátáit a vektor C képest egy ortonormáiis bázis a jobb át a x, y, z.
Mivel c ⊥, c ⊥ b. A CA = 0, CB = 0. a feltétel a probléma megköveteli, hogy c = 1, és a b c> 0.
Van egy egyenletrendszert az x, y, z: 11x + 10y + 2z = 0, 4x + 3Z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.
Az első és a második egyenlet megkapjuk a Z = -4/3 x, y = -5/6 x. Behelyettesítve y és z a harmadik egyenlet, van: x 2 = 36/125, ahol a
X = ±. Az állapot a b c> 0, megkapjuk az egyenlőtlenséget
Mivel a kifejezés a Z és Y átírni a egyenlőtlenséget kapjuk: 625/6 x> 0, ami azt jelenti, hogy x> 0. Tehát x =. y = -. Z = -.