Lineáris differenciálegyenlet másodrendű
Definíció 1. Az egyenlet a következő formában:
esetében, ahol folyamatos az intervallum funkciót nevezzük lineáris differenciálegyenlet (LDU) a másodrendű. Ha minden a különbség. majd (1) egyenlet az úgynevezett homogén lineáris differenciálegyenlet (Lineáris Közönséges differenciálegyenletek):
Ha a (1) egyenlet az úgynevezett lineáris inhomogén differenciálegyenlet (LNDU).
2. Definíció két funkció, és az úgynevezett lineárisan függ az időtartam, ha az összes lehetséges aránya egyenlő állandó érték, azaz a Ellenkező esetben, ha a függvények lineárisan független az intervallumon.
3. Ha a meghatározás lineárisan független megoldásai Lineáris Közönséges differenciálegyenletek, alkotnak alapvető rendszerét egyenlet megoldásai.
Tétel 1. Ha lineárisan független megoldásokat Lineáris Közönséges differenciálegyenletek (2) intervallumon, akkor a lineáris kombináció
és ahol a tetszőleges állandók, az általános megoldás, hogy ez az egyenlet.
2. Tétel Az általános megoldás LNDU másodrendű (1) van az összessége a megfelelő megoldások Lineáris Közönséges differenciálegyenletek (2), és minden olyan magán LNDU oldatok (1), azaz a LNDU általános megoldás (1).
3. Tétel. Ha egy adott megoldás LNDU:
Egy adott oldatban LNDU:
ez az egyik megoldás LNDU:
A homogén lineáris differenciálegyenletek állandó együtthatós
Definíció 1. Az egyenlet az űrlap
ahol valós számok, az úgynevezett lineáris homogén differenciálegyenlet (Lineáris Közönséges differenciálegyenletek) a másodrendű állandó együtthatós.
Euler módszer megoldására Lineáris Közönséges differenciálegyenletek állandó együtthatós
Különös megoldások ennek az egyenletnek úgy kapjuk meg:
Behelyettesítve a (3) egyenletben a kifejezés (*), kapjuk:
(4) egyenlet jellemző a (3) egyenlet. Ez egy másodfokú egyenlet, így értékétől függően a diszkrimináló három esetben.
1), majd a gyökerek a karakterisztikus egyenlet (4) a valós és a különböző - Ezek ad két lineárisan független megoldásokat :. Következésképpen, ebben az esetben, az 1. tétel, az általános megoldás a (3) egyenlet a következőképpen írható fel:
2) Ebben az esetben tehát, az egyik megoldás, hogy (3) egyenlet lesz. A második lineárisan független az elsőtől, akkor megteszi a funkciót. Következésképpen, ebben az esetben, az 1. tétel, az általános megoldás a (3) egyenlet a következőképpen írható fel:
3) Ebben az esetben, a gyökerek, a (4) egyenlet a konjugált komplex: Akkor, mint lineárisan független megoldásokat is igénybe vehet a funkciókat, és ezért, ebben az esetben, az 1. tétel, az általános megoldás a (3) egyenlet a következőképpen írható fel:
Példák megoldások
1. példa Keresse az alapvető rendszer megoldások és az általános megoldás:
Határozat. Behelyettesítve az adott egyenletben, megkapjuk a karakterisztikus egyenlet:
Mivel a gyökerek valós és más, az alapvető rendszer megoldások az egyenlet teszi a funkciók:
Ezután az általános megoldás ez az egyenlet felírható lineáris kombinációjaként:
2. példa: az egyenlet megoldásához:
Határozat. A karakterisztikus egyenlet:
A gyökerek az egyenlet valós és egyenlő:
Ezután a rendszer alapvető megoldások az egyenlet teszi a funkciók:
Az általános megoldás felírható lineáris kombinációja ezeket a megoldásokat:
3. példa megoldásához a következő egyenletet:
Határozat. A karakterisztikus egyenlet:
A gyökerek ebben az egyenletben komplex konjugátum:
Alapvető rendszer megoldások az egyenlet teszi a funkciók:
Az általános megoldás felírható lineáris kombinációja ezeket a funkciókat:
4. példa megoldásához Cauchy probléma:
Határozat. A karakterisztikus egyenlet:
A gyökerek az egyenlet valós és egyenlő:
Alapvető rendszer megoldások az egyenlet teszi a funkciók:
Az általános megoldás felírható lineáris kombinációja ezeket a funkciókat:
Találunk egy adott megoldás, amely kielégíti a kezdeti feltételeket, és az első lelet:
Mi egy olyan rendszer felállítása a két egyenlet, hogy ebben az esetben az általános megoldás
Mi helyettesíti az értékeket találtak az általános megoldás:
ez lesz a megoldás a Cauchy probléma.
Keresse alapvető rendszer megoldások: