Korlátolt és korlátlan jellemzői
Definíció 1. funkciót. halmazán megadott X nevezzük korlátos fent ez a készlet, ha létezik olyan M száma olyan, hogy. Funkciót. halmazán megadott X nevezzük alulról korlátos ezen sor, ha létezik olyan M száma olyan, hogy. Funkciót. halmazán megadott X. nevű korlátozódik erre sor, és ha van szám. úgy, hogy.
Más szóval, a függvény határolja X. ha ez a halmaz korlátos felett és alatt.
Például, a funkció határolt fent a beállított R. ettől. Ez határolja alatt R. ettől. Ez határolja R. ettől. Fogyatékos funkciók és. óta.
Tulajdonságok korlátozott funkciók:
1) Ha az f és g függvények vannak határolva a forgatáson X., és funkciókat, szintén csak a beállított X;
2) Ha a funkció korlátos felülről, ez határolja alulról;
3) ha a funkció pozitív a beállított X és határolt alsó egy pozitív szám, akkor a függvény van határolva, x.
Bizonyítás. 1) A korlátozott f és g függvények az X halmazon és számok léteznek. és. mint például. És akkor - korlátos X funkciót. Annak bizonyítására, a kötöttség a funkciót. beállítva. Aztán ott van a egyenlőtlenségek és. amiből következik, hogy. és ez azt jelenti, egy korlátozása funkciót.
2) A korlátozott van egy f függvény felülről M száma olyan, hogy. Aztán. azaz korlátos függvények.
3) A feltétel szerint. Ezért a korlátozás funkciót.
Például a funkció határolja valós számok R, mint.
Annak meghatározásához korlátlan tetején vagy alján a funkciót, meg kell megfogalmazni a tagadása a vonatkozó részének meghatározása 1.
2. Definíció A függvény korlátos felülről az X halmazon, ha nincs szám M olyan, hogy valamennyi. Azaz, akárhány M van egy szám. úgy, hogy.
A funkció az úgynevezett kötetlen alábbiakban a beállított X, amennyiben bármely száma M, van egy szám. úgy, hogy.
Lássuk be, például, hogy a függvény nem korlátos a beállított módon. Veszünk egy tetszőleges számú és azt mutatják, hogy. úgy, hogy.
Ehhez nyilvánvalóan elegendő ahhoz, hogy. pl.
Ha a funkció van határolva, X, akkor a kitűzött korlátozott, így a legkevésbé felső és legnagyobb alsó korlát. Ezek és a jelentése rendre és a továbbiakban a legalább felső korlát, és a legnagyobb alsó korlát a beállított X.
Definíció 3 a) Egy függvény növekszik a beállított X. Ha a nagyobb értéke az érv felel meg egy nagyobb értéket a függvény, azaz . úgy, hogy. Van.
b) függvény csökken egy sor X HA.
c) nem csökkenő függvény nevezzük az X halmazon, ha.
g) nemnövekv® függvényt hívjuk a forgatáson X. Ha.
Növekvő, csökkenő, nem csökkenő, nem növeli a funkciót nevezik monoton. növekvő vagy csökkenő - szigorúan monoton függvények.
A tanulmány monoton függvény hasznos az alábbi állítások.
Tétel. a) Ha az f és g függvények növekszik (csökken) a beállított X és az f függvény + g növekszik (csökken) a X.
b) Ha a beállított X jelentése H.
c) Ha az f és g függvények nem-negatív az X halmaz és a növekedés (csökkenés) a készletben, dolgoznak X.
g) Ha az f függvény pozitív a beállított X és nő (csökken), majd a X.
e) Ha egy függvény az X halmazon, és a funkció a forgatáson. A funkció a sor X.
Bizonyítás. Megmutatjuk például, az a) és d).
a) Legyen az f és g függvények növeli egy sor X és. és. Aztán, mert az azonos értelemben egyenlőtlenség lehet hozzáadni, akkor. azaz A függvény f + g növekszik.
d) Legyen a függvény csökken egy sor X és függvényében csökken a beállított. . és. Aztán, ahogy. azaz növekvő függvény a forgatáson X.
A többi tétel állítása bizonyítani magadnak.
Figyeljük meg, hogy hozzá egy állandó értéket a szorzás a funkciót, a pozitív konstans érték nem változik a monoton jellegű.
Példa. Megmutatjuk, hogy a funkciók és növelje a távolságot.
Bizonyítás. Funkció növeli az intervallumot. Ezután a tulajdon c) és. és. Ezért az ingatlan a) növekszik, és a funkciót.
Funkció indirekt bizonyítás. Let. Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, azaz hogy. Ezután a növekedés a funkciót. . azaz . ami ellentmond az egyenlőtlenség. Ez az ellentmondás azt jelenti, hogy. azaz funkció növeli az intervallumot.