kettős integrálok
Dupla integrálok ugyanolyan tulajdonságokkal rendelkezik, mint a határozott integrálok (linearitás, összegző képlet középérték, stb).
Azt a képlet
ami azt mutatja, hogy a sorrendben integráció lehet változtatni.
A beépített (1) képviseli a térfogata a test által határolt alsó téglalap P, az oldalsó - az oldalfelületek egy egyenes hasáb, épített ezt a téglalapot és a fenti - az a része, amely felület kivágjuk a prizma (1. ábra).
2. Ha az f (x, y) folytonos
Ahol és folytonos az [a, b] és [a, b]
A jobb oldalon a (3) ismételjük integráns, vagyis az eredmény a szekvenciális kiszámítása első szerves y egy rögzített x. Ezután a szerves x a fogadó funkciót.
3. Ha az f (x, y) folytonos a régióban a G (ábra. 3)
ahol a funkciók folyamatos a szegmens [c, d] és [c, d], akkor a egyenlőség
4. Ha G (ábra. 4), amely rá vonatkozik, és a (3) képlet és a (4) képletű,
Ez az egyenlet használható sorrendjének megváltoztatásához integráció a iterált integrál.
Területek bonyolultabb formában, részekre, amelyek alkalmazhatók a általános képletű (3) vagy (4).
A kettős integrál a hangerő
hengeres fűrészáru - a test által határolt felső felülete z = f (x, y). oldalirányban egy hengeres felület alkotói párhuzamosak a z tengellyel. alább - G kép az xy síkban (5. ábra).
Példa 1. Mérjük a sorrendben integráció
Határozat. Ebben a példában, meg kell kezdeni az építőiparban a régió integrációját, mert az integrál kapnak, jelezve a rend az integráció és a határértékeket a megfelelő változókat. Emlékezzünk vissza, hogy a változó határait integrációja a belső határok szerves változás x fix y. Ezért, a tartomány integrációs G 1 az első szerves lehet állítani a egyenlőtlenségek
Ahol és ívei parabola alatt fekvő tengely Ox. A régió az integráció második integrál az űrlap
és ahol a görbék ívei parabola és körív felett fekvő tengely Ox.
Legyen G = G1 UG2 (ábra. 6.). Ezután, a szegmens végpontok és mindegyik sor x = const, metszi a beállított G
Következésképpen, a régió G úgy reprezentálható, mint
Megjegyezzük, hogy a változás a sorrendben integráció a iterált szerves időnként nagymértékben leegyszerűsíti a számítás.
Példa 2. Számítsuk ki szerves ahol a régió által határolt vonalak G és y = 0 (7. ábra).
Határozat. Minden rögzített y értékét. x értéke változik maximum x = (2 - y) e. ezért
Integrálása most a funkcióját y értéke y = 0 és y = 1. kapjunk
Kiszámításakor az integrál
A forma integrálás. van
3. példa. Számítsuk ki a térfogatát, a test által határolt felületek
Határozat. A régió az integráció a forma a G (ábra. 8).
Szerint (3) képlet, van
Example4. Számítsuk ki a térfogatát, a test, a lehallgatott elliptikus paraboloid sík X = k (k> 0) (9.).
Határozat. A mind a négy octants, ahol x jelentése pozitív, ez a negyedik része a test. Ezen az alapon, megkapjuk
II. Cseréje változó a kettős integrál.
Változás a változó az integrál mozgatni az x és y az új változók u és v. társított régi kapcsolatok
Ha az alábbi feltételek mellett:
1 °. Kijelző (6) bijektív.
2 °. A (6) folyamatosan - a D. differenciálható
3 °. Jacobi (6)
akkor megvan a képlet
Jellemzően, a változás a változók készül egyszerűsítése érdekében az integrációs tartomány. Egyenletek (6) nevezzük átmenet derékszögű koordináták görbe vonalúak.
Példák a görbe vonalú koordináták polárkoordináták társított téglalap (x, y) képletek
A Jacobi a transzformációs (8) egyenlő
Használt, mint a szintézise poláris koordinátákat. Példaként térfogatának kiszámításához a test meghatározott 3. példa (második módszer).
Határozat. Bemutatunk egy általánosítása a poláris koordinátákat GDS
Terület S squarability régióban G az xy síkban adják
Rátérve a görbe vonalú koordinátákat,
Dxdy mennyisége az úgynevezett négyzet elem téglalap alakú koordinátákat; - szögletes eleme görbe vonalú koordinátákat; - a terület eleme poláris koordinátákat.
Legyen D - íves szektor által határolt sugarak: és a görbe - a polár koordinátákkal (10. ábra). majd
Legyen G - anyagból készült lemez (squarable ábra) az xy síkban sűrűségű
- statikus pillanatok a lemez képest a OX és OY tengelyek;
- a koordinátáit a súlypont a lemez;
- tehetetlenségi nyomatéka a lapnak a OX és OY tengelyek;
- tehetetlenségi nyomatéka a lapnak a származási.
5. példa A lemezt G beállítása korlátozza vele görbék:
- felületi sűrűség. Keresse bejegyzések tömege.
Határozat. Plate található egy derékszögű koordináta-rendszert úgy, hogy a középső kör egybeesik a származási (ábra. 11).
Van. Nézzük lépni a kettős integráns polárkoordináták Így G alakítjuk egy téglalap alakú terület.
*) Feltéve, hogy a létezés minden integrálok felmerült alábbi