Geometriai alkalmazások a határozott integrál 1
Terület a görbe vonalú alakja a derékszögű koordináta-rendszerben
Terület görbe vonalú trapéz korlátos fenti grafikon y = f (x). a bal és jobb - egyenes x = a és x = b, illetve alulról - Ox tengelyen. Úgy kell kiszámítani, az általános képletű
Terület ívelt trapéz határolt jobb grafikon x = φ (y). felső és alsó - egyenes és y = d y = c, illetve, hogy a bal - Oy tengelyen.
Terület a görbe vonalú alakja határolt felülről a grafikonon az y2 = f2 (x). Alsó - grafikon y1 = f1 (x). a bal és jobb - jobb x = a és x = b.
Terület a görbe vonalú alakja által határolt a bal és jobb grafikonok funkciók x1 = φ1 (y) és x2 = φ2 (y). felső és alsó - egyenes és y = d y = c rendre:
Vegyük azt az esetet, amikor a vonal határoló felső íves trapéz, adott paraméteres egyenlet x = φ1 (t). y = φ2 (t). ahol α ≤ T ≤ β. φ1 (α) = a. φ1 (β) = b. Ezek az egyenletek határozzák meg egy függvény az y = f (x), az [a, b]. Terület ívelt trapéz kiszámítása a képlet
A terület polárkoordinátákban
Vegyünk egy íves szektor OAB. vonal által határolt egyenlet által definiált ρ = ρ (φ) a poláris koordináták, a két sugarak OA és OB. amelyre φ = α. φ = β.
Sector OMK-osztva elemi ágazatokban 1 Mk (k = 1, ..., n. M0 = A. Mn = B). Jelöljük közötti szög a gerendák δφk OMK-1 és OMK. alkotó a sarki tengely szögek φk-1 és φk rendre. Mindegyik elemi szektorok OMK-1 Mk helyettesíti a körcikk sugarú ρk = ρ (φ'k). ahol φ'k - a szög φ az intervallum [φk-1. φk], és egy központi szöget δφk. A terület által adott utolsó szektorban.
Ez fejezi ki a terület „lépés”, az ágazat mintegy helyett az ágazat OAB.
Sector terület OAB a határ a terület "lépés" a szektor n → ∞ és λ = max δφk → 0.
Az ív hossza a görbe
Legyen a [a, b] definiált differenciálható függvénye y = f (x). amelynek grafikonja az ív. A szegmens [a, b] oszlik n részei által pontok x1. x2. ..., xn-1. Ezek a pontok megfelelnek a lényeg M1. M2. ..., Mn-1 az ív, amely összeköti őket a szaggatott vonallal, amely az úgynevezett szaggatott vonal írt az ív. Kerülete a szaggatott vonal jelöli sn. tehát
Definíció. Az ívhossz a határvonalat a kerülete a beírt sokszög bele, amikor az egységek számát Mk-1, Mk korlátlan növekszik, és a hossza a leghosszabb közülük nullával:
ahol λ - a leghosszabb link.
Mi számít az ív hossza az egyes pont, például A. Tegyük fel, hogy M pont (x, y) egyenlő a ívhossz s. és az M pont „(x + δ x, y + δy) ív hossza egyenlő s + δs. ahol i> δs - ívhossz. A háromszög MNM „meg a hossza akkord :.
Geometriai megfontolások
ez egy végtelenül ív a görbe, valamint a szigorodó akkord egyenértékű.
Transform képletű expresszáló húrhossz:
Figyelembe a határ ebben a egyenletet, megkapjuk a kifejezés a függvény deriváltját s = s (x).
amelyek közül
Ez a képlet fejezi ki eltérés az ív egy sík görbe, és egy egyszerű geometriai jelentése. Ez fejezi ki a Pitagorasz-tétel egy infinitezimális háromszög MTN (DS = MT.).
Differenciál térbeli ív által meghatározott görbe a képlet
Tekintsük a térbeli ív által meghatározott vonal paraméteres egyenleteket
ahol α ≤ T ≤ β. φi (t) (i = 1, 2, 3) - t argumentum differenciálható függvény. az
Integrálása az egyenletben az intervallum [α, β], a képlet kiszámításához az ív a vonal hossza
Ha a vonal síkjában Oxy. akkor Z = 0 minden t∈ [α, β]. ezért
Amikor a egyenes vonal határozza meg az y = f (x) (a≤x≤b), ahol f (x) - differenciálható függvény, ha a fenti általános válik
Hagyja egyenes vonal által megadott egyenlet ρ = ρ (φ) (α≤φ≤β) polár koordinátákkal. Ebben az esetben van vonal paraméteres egyenlet x = ρ (φ) cos φ. y = ρ (φ) sin φ. ahol a paraméter vesszük a poláris szög φ. mint
a képlet expresszáló az ív a vonal hosszát ρ = ρ (φ) (α≤φ≤β) polár koordinátákkal, az a forma
A kötet a test
Találunk a mennyiség a szervezetben, ha tudjuk, hogy a terület minden keresztmetszete a test merőleges a bizonyos irányba.
Azt ossza ez a test elemi rétegek merőlegesek a tengelyre Ox és leíró egyenletek a x = const. Minden rögzített x∈ [a, b] ismert a területen S = S (x) a keresztmetszete a test.
A kötet, az említett henger által kifejezett elemi δvk = E (ξk) δxk. Alkotunk az összeg az összes ilyen termék
amely összege a szerves e funkció S = S (x), az [a, b]. Ez kifejezi a térfogata a lépcsős test, amely az elemi hengerek és megközelítőleg egyenértékű adott szervezetben.
Köre a test úgynevezett térfogatát korlátozni az említett test a lépcsős λ → 0. ahol λ - a maximális hossza az elemi szegmensek δxk. V jelöli a térfogata ennek a test, akkor értelemszerűen,
Másrészt,
Következésképpen, a hangerőt a test előre meghatározott keresztmetszetű számítják az alábbi képlet szerint
Ha a test van kialakítva egy forgástengely körül Ox görbe vonalú trapéz határolt fenti folytonos ívet y = f (x). ahol a≤x≤b. akkor S (x) = πf 2 (x), és az utóbbi általános képletű válik:
Megjegyzés. Eltolható test kapott forgatásával egy ívelt trapéz határolt jobb grafikon x = φ (y) (c ≤ x ≤ d), kerek Oy tengely képlettel számítottuk ki
A terület felszíne forradalom
Tekintsünk egy felülete által generált forgó ív y = f (x) (a≤x≤b) tengelye körül Ox (feltételezzük, hogy a függvény az y = f (x) egy folytonos származék). Mi fix érték x∈ [a, b]. Adjunk az érv funkció növekmény dx. amely megfelel a „elemi gyűrű” kapott elemi ív forgás AL. Ez a „gyűrű” felváltja a hengeres gyűrű - az oldalsó felülete a test által alkotott forgása egy téglalap egy bázis egyenlő a differenciál ív dl. és magassága h = f (x). Vágás az utóbbi gyűrű és bevezetésével ez, szerezzen egy csík szélessége dl és hosszúsága 2πy. ahol y = f (x).
Következésképpen, eltérés felülete képlete
Ez a képlet fejezi ki felülete kapott elforgatásával az ív vonal y = f (x) (a≤x≤b) a tengely körül Ox.