Geometriai alkalmazások a határozott integrál
A terület síkidom
Már jeleztük, a kifejezés a terület a görbe vonalú trapéz át a határozott integrál. Ebből következik, a képlet kiszámításához a terület az ábra által határolt felső és alsó, a függvény grafikonját. és az oldalán és egyenes:
Ha a görbe vonalú trapéz határolt fent meghatározott vonal által paraméteres egyenleteket: ,,. területe az ábrán a következőképpen számítjuk ki
ahol az egy vonalba határértékek végezzük értékekkel összhangban :.
Példa. Számoljuk ki a területet az ábra által határolt ellipszis :.
Tekintsük a fele fekvő alakot a felső felében. Balról jobbra: a koordinátákat a határértékek és a számot. ezzel összhangban meghatározzák, az integráció a paraméternek a kapcsolatokat, és. By lelet formula
ahol a belül fekvő ellipszis megkapjuk a képlet.
Mint egy gyakorlat, akkor ajánlott, hogy ebből a képlet a terület az adott szám polár koordinátákkal. határok a sugarak. és a görbe
Az ív hossza a görbe
Hagyja az ív a görbe a függvény grafikonját, amely folytonos a. A hossza az ív e görbe meghatározása, mint a határérték, amely hajlamos hossza feliratos vonallánc (lásd. Ábra. 2), és mikor.
Ez a meghatározás megfelel az ív hossza görbe megérzések és az alapja a szigorú logikai hossza fogalmát.
Beállításakor a görbe paraméteres egyenlet a (12) egyenlet úgy kapjuk meg, a képlet
Beállítása az ív a görbe egyenlete polár-koordinátákkal. Ez egy speciális esete parametrikus feladatok :. Behelyettesítése után ezek a funkciók kapjunk képlet az ív hossza a görbe, megadott polárkoordináták,
Példa. Számítsuk ki az ív hossza az első ciklois ívek (pályái a keréktárcsa) ábrán látható. 3.
Ciklois egy paraméteres egyenletet. A paraméter a forgásszög a kerék, amely az első ív veszi értékeket. Szerint (13) az ív hosszát fejezzük integrál a ciklois
A mennyiség és a felülete a forgástest
Mi jelent a probléma mennyiségének meghatározásakor és testfelület, a kapott görbe forgatásával íven a tengely körül.
Kapacitás úgy definiáljuk, mint a határérték, a térfogata a kompozit hengeres test ábrán látható. 4. A felület a test forgási kapunk határa az összetett felület feliratos kúpos felületek (lásd. Ábra. 5).
Ennek eredményeként elérünk képletek kiszámításához a hangerő és a felület:
Felhívjuk figyelmét, hogy a használata összetett hengeres test nem a helyes értéket adja a felület.