Fordított tagú gyűrűt modulo
meghatározás
Tegyük fel, hogy adott egy természetes modul és megvizsgálja a által alkotott gyűrű a modul (azaz, amely számok a). Ezután, az egyes elemei ez a gyűrű megtalálható egy inverz elem.
Az inverze a modulok száma nevezzük szám olyan, hogy:
és gyakran nevezik.
Egyértelmű, hogy soha nem tér vissza nullára elem; a fennmaradó elemeit az inverz lehet vagy már létezik, vagy sem. Azt állítják, hogy az inverz létezik, csak azokat az elemeket, amelyek viszonylag elsődleges modulba.
Tekintsük a következő két úton lehet megtalálni az inverz elem működik, feltéve, hogy létezik.
Összefoglalva, nézzük egy algoritmus, amely lehetővé teszi, hogy megtalálja az összes szám vissza egy bizonyos modult a lineáris időben.
Megtaláljuk a Kiterjesztett euklideszi algoritmus
Tekintsük a kisegítő egyenletet (és viszonylag ismeretlen):
Ezt a lineáris Diophantine egyenlet másodrendű. Amint a megfelelő cikkben a feltétellel, hogy ez az egyenlet van egy megoldás, amely megtalálható a kiterjesztett euklideszi algoritmus (ezért ugyanúgy, ebből következik, hogy ha, oldatok, és így az inverz elem nem létezik).
Másrészt, ha vesszük mindkét oldalán az egyenlet egyensúlyt modulus, megkapjuk:
Így, és meg fogja találni, hogy visszafolyató hűtő alatt forraljuk.
A végrehajtás (beleértve, hogy a talált meg kell venni az abszolút érték, és lehet negatív):
Asymptotics a kapott oldatok.
Megtalálása bináris hatványozás
Az általunk használt Euler-tétel:
ami igaz, csak arra az esetre, viszonylag fix és.
By the way, megkapjuk még abban az esetben egy egyszerű nyilatkozatot egy egyszerű modul - kis Fermat-tétel:
Szorozzuk mindkét oldalán az egyes egyenletek szerezni:
Így van a képlet a közvetlen számítását a visszatérés. A gyakorlati alkalmazás jellemzően egy hatékony algoritmust bináris hatványozás. ami ebben az esetben lehetővé teszi, hogy a hatványozás számára.
Ez a módszer úgy tűnik, hogy valamivel könnyebb, azt az előző bekezdésben, de ismerni kell az értékek Euler függvény, amely ténylegesen szüksége van a faktorizációja a modult, ami néha nagy kihívást jelent.
Ha a hányados szám ismert, akkor ez a módszer is működik az aszimptotikus viselkedését.
Megállapítás minden prime egy adott modul lineáris időben
Adott egy egyszerű modult. Szükséges minden egyes szám az intervallumban találni inverze.
Alkalmazása a fenti algoritmusnak, megkapjuk csak az aszimptotikus megoldásokat. Itt adunk egy egyszerű megoldás, hogy az aszimptotikus viselkedését.
A megoldás a következő. Jelöljük a számot a kívánt inverz modulo. Ezután 1 „> valódi kilétét:
Az ezen irányelv végrehajtásához meglepően tömör megoldások:
Bizonyíték ez a megoldás egy lánc egyszerű átalakítások:
ahol figyelembe mindkét része a modul, megkapjuk:
Szorzás mindkét oldalán inverz és inverz megszerezni a szükséges képlet:
QED.