Eigenfunctions és sajátértékei az üzemeltetők
Matematikai apparátus kvantummechanika
A kvantummechanikában minden dinamikus változó (koordináta, lendület, energia, stb) van rendelve egy lineáris önadjungált operátor. Operator hívott. szabály vagy törvény, amely ezt a funkciót. A funkciók egy osztály van rendelve egy másik funkció # 966;.
Az üzemeltetők jelöljük *. pl. . stb Azt mondják, hogy az üzemeltető hat f vagy az üzemeltető függvényében
Operator ható függvényében, megkapjuk:
Az üzemeltető a meghatározás egy bizonyos osztály műveleteit. Az üzemeltető akkor tekinthető adható, ha jelzi a nem csak a szabályt, mely szerint átalakul egy funkció a másikra, hanem a különböző funkciók, ahol a szolgáltató jár. Például, a differenciál operátor által meghatározott egy osztály differenciálható függvények.
Az összeg vagy különbség szereplő eszközök
Az általános esetben. de ha a sorozat szereplő intézkedések nem releváns, azaz . azt mondjuk, hogy ezek a szereplők ingázni vagy e szereplők ingázik. Ha a szolgáltatók nem ingázik. Ezen kívül vannak olyan anticommutative szereplők kommutatív és nem-kommutatív operátorok.
A terméket a 2 azonos szereplők. n-szer. .
A kvantummechanikában jelentős szerepe van a lineáris önadjungált (hermitikus) szereplők. linearitás tulajdonság azt jelenti, hogy
Itt és - állandó
és a funkció, amely úgy definiálható.
Feltétel szereplők linearitás felírható:
Az üzemeltetők vektor jellegű. A kvantummechanikában közös üzemeltető nabla:
A termék egy 2-vektort üzemeltetők kialakítva skaláris szorzata vektorok:
Operator. amelyekre a következő egyenletet nevezzük. önadjungált vagy hermitikus:
A funkciók és megköveteli, hogy az üzemeltető számára meghatározásra került, és integrálok ebben a kifejezésben ott.
* A jelölt komplex ragozás. Például, az expresszióhoz
A komplex konjugált tartalmazó képzetes egység, kell felváltani - .: Valódi üzemeltető alatt összetett ragozás változatlan marad.
Eigenfunctions és sajátértékei az üzemeltető
Ennek eredményeként a fellépés a funkciót, akkor nem változik, vagy a változások csak egy faktort, például. akkor azt mondjuk, hogy - ez egy sajátérték. és a funkció - saját üzemben.
Az állapotok, amelyekben a kezelő elhagyja az f függvény konstans, hogy belül multiplikatív konstans, felírható: (1).
Itt - állandó típusától függően az üzemeltető és a funkció. Nyilvánvaló, hogy nem minden f függvény kielégíti az (1) feltételt, és egyáltalán nem jelenti. Értékeket. amelyre a (1) egyenlet nem nulla megoldásokat, az úgynevezett sajátértékei az üzemeltető. Állítsa be a sajátértékek nevezik spektrumát sajátértékek. A spektrum lehet folyamatos és diszkrét. Ez folyamatos, ha az egyenlet (1) van egy megoldás minden érték egy intervallumot. A spektrum a sajátértékek lehet keverni, azaz áll folyamatos és diszkrét értékek. Minden sajátérték megfelel egy privát függvényt. Ebben az esetben, azt mondják, hogy a megfelelő funkció tartozik a megfelelő értéket. Ha minden sajátérték tartozik számos különböző funkciókat. akkor azt mondjuk, hogy ez a spektrum szeres degenerált. Nézzük meg néhány fontos tulajdonságát sajátértékek és eigenfunctions.
1. Tétel: Ha az üzemeltető önadjungált, akkor annak sajátértékek valósak.
2. tétel: Megfelelő funkciót és önadjungált operátor. tartozó különböző sajátértékek és merőlegesek egymásra:
Abban az esetben, a diszkrét spektrum véges integrál értéket.
Ha ahelyett, opciókat, válasszuk az Opciók. akkor mi van. Csere módjára működik úgynevezett értékbecslést. és az együttható - normalizálás együttható.
Ez a funkció a normalizált. Megfelelő működésének a diszkrét spektrum mindig feltételezzük, hogy normalizálni kell.
Ortogonalitása és normalizáció feltételek együttesen felírható a következőképpen:
Lehetnek olyan esetek, ahol a különböző eigenfunctions tartoznak azonos sajátértékek, vagyis van degeneráció. A degenerált funkciók általában nem beszélnek ortogonális.
3. Tétel: Ha több eigenfunctions tartoznak azonos sajátértékek, bármely lineáris kombinációja ezeket a funkciókat egy olyan megoldás, az üzemeltető egyenlet azonos sajátérték.
4. tétel: Ha az üzemeltető a 2. és saját funkciói, ezek ingáznak összességében teljes rendszert.
5. Tétel: Ha az üzemeltető a 2. és az ingázás, vannak közös eigenfunctions.
6. Tétel: A rendszer eigenfunctions az üzemeltető egyenlet befejeződött. Ez azt jelenti, hogy minden funkció. meghatározása megegyezik mezőváltozók és alárendelt azonos peremfeltételek, mint saját diszkrét spektrum az üzemeltető. Ez is képviselteti magát egy sor ilyen eigenfunctions: