A sajátértékek és eigenfunctions az üzemeltetők
Sajátértékei, eigenfunctions
A fizikai jelentése van megoldás a Schrödinger-egyenlet:
amelyek megfelelnek a természetes (standard) körülmények között. Szerintük a hullámfüggvény kell véges, egyértelmű, folyamatos és egyenletes az egész hely, még azokon a pontokon diszkontinuitás potenciális energia. Megoldásokat, amelyek megfelelnek ezeknek a követelményeknek nem semmilyen értéke $ E $, de csak bizonyos melyek jelzik: $ E_1, E_2, \ dots \ E_n $.
Az energia értékek ($ E_1, E_2, \ dots \ E_n. $), Amelyre az (1) egyenlet a szükséges megoldásokat, az úgynevezett sajátértékek. A funkciók $ \ Psi_1, \ \ Psi_2, \ \ dots \ \ Psi_n $, melyek megoldásai (1) $ E = E_1, E = E_2, \ dots, E = \ E_n $ nevű eigenfunctions tartozó sajátértékek. Ez a lényege az általános elv kvantálás.
Sajátértékei az energia $ E $ fogadja az esetleges energia értékeket a megfelelő nyugalmi állapot. Ezek az értékek lehetnek diszkrét vagy folytonos, ahol van egy diszkrét vagy folytonos energia spektrum.
A sajátértékek és eigenfunctions az üzemeltetők
Tekintsük az egyenlet a következő formában:
ahol $ \ hat $ - lineáris operátor $ A $ - szám, $ \ Psi $ - funkciót. Ebben az esetben az intézkedés az üzemeltető szorzás számos funkciót. Az ilyen függvények eigenfunctions az üzemeltető $ \ hat. $ Megoldások a (2) egyenlet már csak különleges értékei $ a $, amely az úgynevezett sajátértékei az üzemeltető $ \ hat $. (2) egyenlet, ahol kerülnek elszámolásra:
ahol a $ a_n $ - sajátértékek, $ \ Psi_n $ - eigenfunctions megfelelő sajátértékek. Ezeket a funkciókat feltételezzük, hogy a normalizált:
Így az értékek azok, amelyek ezt a fizikai mennyiség a kvantummechanika, az úgynevezett sajátértékek. A készlet sajátértékek - sajátértékeit mennyiség.
Ha a rendszer egy bizonyos feltétellel, hogy jellemzi a hullámfüggvény $ \ Psi $, elvégzése a mérési mennyiséget $ a $, A rendszerrel kapcsolatos vizsgálat alatt, majd egy a sajátértékek $ a_n. $
A sajátértékek az operátorok fizikai mennyiségek hogy csak valós értékeket.
Állítsa be a eigenfunctions egy komplett rendszer, ami azt jelenti, hogy minden a rendszer állapotát $ \ Psi $ leírható, mint egy egységes és egyértelmű sorozat terjeszkedés eigenfunctions:
ahol a $ ^ 2 $ - annak a valószínűsége, hogy a mérés egy fizikai mennyiség, amely megfelel az üzemeltető $ \ hat $ fog egyezni a dimenzió $ a_n $ a hullámfüggvény $ \ Psi_n $.
Az átlagos értéke a fizikai mennyiség
Az átlagos értéke minden fizikai mennyiség ($ \ left \ Langle alagútrendszert A \ right \ rangle $) kvantummechanika határozzuk meg egy valószínűségi hullám függvény értelmében:
Analógok, így átlagolás a klasszikus fizika ott. Gyakran végzett átlagolással idővel egy bizonyos értéket. A nagy számú részecske át végezzük az együttes átlagolás, mint például kiszámítása az átlagos sebesség a mozgás a molekulák egy anyag. Esetünkben átlagolása kvantum állapotát egy mikroszkopikus tárgy fix időben. Tartsa ilyen átlagosan empirikusan nagyon nehéz.
Az átlagos értéke a kvantum részecske koordináta értékeket lehet meghatározni:
Diszperziós fizikai mennyiség
Hasonlóképpen valószínűségszámítás kvantumfizikában beadott diszperzió átlagos koordinátákat. Ez határozza meg a változása a mérési értékek kapott képest az átlagos koordinátákat vizsgálták. A diszperziót így meghatározott, mint:
ahol $ \ left \ Langle alagútrendszert x ^ 2 \ right \ rangle = \ int \ limits_V, t \ jobbra) x ^ 2 \ Psi \ bal (\ overrightarrow, t \ jobbra) dV> $ négyzetes középértéke értéke a koordinátáit a részecske.
Egy hasonló expressziós lehet használni, hogy az impulzusok diszperziója értékek:
ha egy négyszög impulzus inkább káros mennyiség:
Miután az általánosítás, lehet írni, hogy a diszperziós mennyiség $ A $, amely meghatározza a szórás a mérési eredmények tekintetében az átlagos, megtalálható, mint:
Megjegyezzük, hogy a diszperziós értékek $ A $ a saját államában nullával egyenlő, ami azt jelenti, hogy a fizikai mennyiség egy bizonyos értéket, amely pontosan meghatározott, és egyenlő a sajátérték operátor $ \ hat. $
Cél: Az egyenlet $ \ hat \ Psi = A \ Psi, $ get $ \ Psi $ -funkcióhoz állapotban, amikor a vetítés az impulzus tengelyen $ X $ egy bizonyos értéket $ p_x $.
A kifejezés a lendület üzemeltetője:
helyettesítse be a következő egyenletet:
helyett az üzemeltető $ \ hat $, van:
(1.3) megfelel a funkció:
Ez a funkció megfelel a természetes körülmények között, vagyis az ismeretlen funkció található.