A kombinatorika elemei

Gyakorlati tevékenységeink során gyakran olyan jelenségekkel találkozunk, amelyek kimenetelét nem lehet megjósolni, amelynek kimenetele az ügytől függ. A valószínűségi elmélet a matematika egyik ágát jelenti, amelyben véletlenszerű jelenségeket (eseményeket) vizsgálnak, és a szabályosságokat tömeges ismétlődésük során feltárják. A valószínűségelmélet fő fogalma egy esemény valószínűsége (egy esemény relatív gyakorisága) - az esemény megvalósításának lehetőségeinek objektív mérése.

Az eseményeket általában a latin ábécé nagy betűi jelölik: A, B, C, D. A véletlen események fő típusait soroljuk fel:

  • az események összeegyeztethetetlenek. ha ezek közül kettő nem fordulhat elő ebben a tesztben (tapasztalat) együtt. Például, ha egy érmét dobnak el, egy alak megjelenése kizárja a címer egyidejű megjelenését;
  • két eseményt közösnek neveznek. ha valamelyik megjelenése nem zárja ki egy másik esemény megjelenését ugyanazon kísérletben (tapasztalat);
  • az esemény hiteles. ha ez a vizsgálatban előfordul, kötelező. Például egy nyereményalapú lottón jegyet nyertek egy érvényes esemény;
  • az esemény lehetetlen. ha ez a kísérlet nem fordulhat elő. Például, ha egy halat dob, akkor nem kaphat 7 pontot;
  • két eseményt fordítanak ellentétben (A és A # 772;), ha ebben a tesztben ellentmondásosak, és egyikük szükségszerűen előfordul. Az ellentétes események valószínűsége az összegben 1;
  • a B eseményről függetlenül mondhatjuk el, hogy az A esemény előfordulása nem változtatja meg a B valószínűségét: PA (B) = P (B). Egyébként a B eseményről úgy tűnik, hogy az A eseménytől függ;

Rendezvények teljes rendszere A1. A2. A3. ..., egy olyan össze nem egyeztethető események gyűjteménye, amelyek közül legalább egy kötelező egy adott teszt (tapasztalat) esetén.

Minden A esemény egy P (A) mérettel van társítva, amelyet ennek az eseménynek a valószínűségének nevezünk és amely megfelel a következő axiómáknak:

  • minden esetben 0 ≤ P (A) ≤ 1;
  • A lehetetlen esemény valószínűsége nulla, P (A) = 0;
  • egy megbízható esemény valószínűsége egy, P (A) = 1.

Van egy klasszikus és geometrikus módja egy esemény valószínűségének kiszámítására.

A klasszikus számítási módszerben az A esemény valószínűségét a következő képlet adja meg: P (A) = m / n. ahol:

  • minden elemi eredmény egyformán lehetséges; egyikük sem lehetséges több, mint a másik;
  • m az A esemény előfordulásának előnyeit elősegítő elemi teszt eredmények száma;
  • n az összes lehetséges elemi teszt eredményének összes száma.

Az n és m kiszámításához gyakran alkalmazzák a kombinatorika fogalmát és képletét:

  • Az n-faktorikus az összes természetes számok terméke, egytől n-ig: n! = 1 * 2 * 3 * ... * (n-1) * n. Például: 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24, 1! = 1, 0! = 1
  • Az n elemek permutációja n elemek kombinációja, amelyek egymástól csak az elemek sorrendjében különböznek egymástól. Az összes lehetséges permutáció számát a következő képlet segítségével számítjuk ki: Pn = n!
  • permutáció ismétléssel - legyen az első típus n1 eleme, n2 legyen a második típus. nk - k-es típusú, összesen n elemek. A helyek különböző helyeken való elhelyezésének módja ismétlődő permutációnak nevezhető. Az ismétlődő permutációk számát a következő képlet adja: Pn (n1, n2, ..., nk) = n! / n1! n2. nk!
  • Elhelyezés - n elemek kombinációja m (m n az összes rendelkezésre álló elem száma, m az egyes kombinációk számát jelenti.
    Ha n = m, az elhelyezés permutációvá válik. Ha nem veszi figyelembe az elhelyezés elemeinek sorrendjét, és csak annak összetételét veszi figyelembe, akkor kombinációt kap.
  • kombinációk - az n elemek összes lehetséges kombinációja m-ben (m

A valószínűség kiszámításának geometriai módszere akkor alkalmazható, ha a kísérlet alapvázlatait egy szegmens, alak vagy test pontjaként értelmezhetjük.

Hagyja szegmens l egy részét a szegmens L. Ha feltételezzük, hogy a valószínűsége, hogy a beesési pontjától a szegmens l arányos a hosszával ez az intervallum a valószínűsége, érintkezési pontok a szegmensben l határozza meg az egyenletet: P = hossz l / hossza L.

Az a pont valószínűsége, hogy egy sík alakú g alakba esik, amely egy G síkbeli rész részét képezi: P = Terület g / Terület G.

A pont valószínűsége háromdimenziós alakba esik # 965;, amely az V. ábrán látható: P = Volume # 965; V. kötet

Példák a problémák megoldására a témában: "A kombinatorika elemei. Események és azok valószínűségei "

A 11. évfolyamon 30 fő van. 18 ember tanul angolul, 16 - német, 9 - mindkét nyelven. Hányan tanulnak a) csak angolul, b) csak németül, c) nem tanulnak egyetlen nyelvet?

A megoldás.
a) 18 ember angolul tanul, 9 diák angolul és németül tanul, majd 18-9 = 9 ember csak angolul tanul;
b) mivel 16 ember tanul németül, 9 közülük németül és angolul tanul, majd 16-9 = 7 ember csak németül tanul;
c) mert az osztályban 30 fő van, közülük 9 csak angolul tanul, 7 - csak német, 9 - mindkét nyelv, 30 - (9 + 7 + 9) = 5 ember nem tanul semmilyen nyelvet.

Hányféleképpen tudom átrendezni a betűket a "ficus" szóban?

A megoldás. Ebben az esetben szükség van, hogy megtalálják a permutációinak számát az 5 betűk, mint a „Ficus” szó összes betűk eltérnek, permutációinak számát határozza meg a képlet :! P5 = 5 = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120.

Hányféle módon tudom átrendezni a betűket a "válasz" szóban?

A megoldás. Meg kell találni az 5 betű permutációinak számát, de a 2. feladattól eltérően, ismételt betűkkel - az "a" betű kétszer megismétlődik. Ezért a módszerek számát a permutációs képlet határozza meg ismétléssel: P5 (1, 2, 1, 1) = 5! / 2! = 60.

A matematikajegyek gyűjteményében csak 25 jegy van, 10 közülük a származékra vonatkozó kérdés. Meg kell találni azt a valószínűséget, hogy a vizsgán véletlenszerűen kiválasztott diák nem kap kérdést a származékra.

A megoldás. Ebben az esetben a kedvező kimenetek száma (25-10) = 15, az események száma összesen 25.
Az A = esemény valószínűsége az arány: P (A) = 15/25 = 0,6.

A dobozban 15 rész van, melyek közül 8 festett. A kollektor véletlenszerűen kivonja a három részletet. Keresse meg azt a valószínűséget, hogy a kivont részeket festeni fogják.

Az összes lehetséges elemi teszt eredményének száma megegyezik azzal a számmal, hogy 15 részből 3 részből lehet kivonni:
n = С15 3 = 15! / 3! (15-3)! = 15! / (3! 12!) = 13 * 7 * 5 = 455.
A kedvező kimenetek száma megegyezik azzal a számmal, hogy három részből 8 festéssel kiválaszthatok:
m = S8 3 = 8! / 3! (8-3)! = 8! / (3 * 5!) = 7 * 8 = 56.

Az A esemény valószínűsége az arány: P (A) = m / n = 56/455 ≈0,12

A csoport 17 diákja közül, akik közül 8 lány, 7 színházi jegy kerül lejátszásra. Mi a valószínűsége annak, hogy a jegyek között 4 lány és 3 fiú lesz?

A lottó lehetséges elemi kimeneteleinek száma megegyezik azzal a számmal, hogy a csoportba tartozó összes diák közül 7-et választhat, azaz 17: n = С17 7 = 17! / 7! (17-7)! = 17! / (7! 10!) = 19448.

A sikerek száma (7 között jeggyel 4 női és 3 férfi) fogja találni, tekintve, hogy 4 8 női kiválaszthatja C8 4 módja, és 3 a 9-ből a fiatal férfiak közül választhat C9 három módon. Következésképpen, m = C8 4 * C9 3 = 8! 9! / 4! (8-4)! 3! (9-3). = 5880.

Az A esemény valószínűsége az aránynak tekinthető: P (A) = m / n = 5880/19448

Egyéb témák ebben a témában:

Az alkalmazott források listája

Kapcsolódó cikkek