A rendszerstabilitás elmélete
Az első grafikon összes együtthatója pozitív, ezért a rendszer stabil
7. Lyapunov második módszere
A második, vagy közvetlen Lyapunov módszer lehetővé teszi a nemlineáris differenciálegyenletek megoldásainak stabilitását anélkül, hogy maguk az egyenletek megoldását valósítanák meg. Vizsgáljuk a differenciálegyenletek autonóm rendszereinek triviális megoldásának stabilitását, vagyis az egyenletrendszerek rendszereit
Ebben a vonatkozásban feltételezzük, hogy a függvények fi (x1, ..., xn) folytonos részleges származékokat tartalmaznak minden konvex tartományban lévő összes argumentum tekintetében.
Tekintsük a V tartományt (x1, ..., xn), amelyek a G tartományban vannak meghatározva és folyamatosak: A V (x1, ..., xn) függvényt jelezzük pozitívnak (jel-negatívnak) a jelzett G tartományban, ha bármelyik . A V (x1, ..., xn) függvény pozitív definíciója (negatív definite) ugyanazon a tartományon G, ha bármilyen ha és csak akkor, ha Az első típus V (x1, ..., xn) függvényeit jel-állandónak nevezzük, míg a második típust sign-definite. A jel-definiteness egyszerűen definiálható, ha a V (x1, ..., xn) függvény egy kvadratikus forma, . Ezután a V (x1, ..., xn) függvény pozitív, ha a fenti kvadratikus forma pozitívnak tekinthető. Adjuk meg a V (x1, ..., xn) függvényt egy geometriai értelmezéshez. Vegyük figyelembe a két változó V (x1, x2) függvényét. Az x1, x2 síkon az V (x1, x2) = c (c egy szám) egy zárt görbe, amely tartalmazza a koordináták eredetét (3. ábra). A c = 0 esetén a görbe a származáshoz kötődik. Legyen si (t) a rendszer (1) megoldása, amely megfelel a kezdeti feltételeknek si (t0) = xi0. A teljes derivált az (1) rendszernek köszönhetően a V (x1, ..., xn) , vagy, figyelembe véve a teljes származtatott képletet, . Ebből a képletből következik, hogy a származék (1) nem függ a kiválasztott s (t) megoldástól, hanem a pont függvénye . Ellenkező esetben a kapott kifejezés a következőképpen írható: . a vektor skaláris terméke a fázis sebesség vektorán
Kapcsolódó cikkek