Hodográfiai egyenletek
A hodográfiai egyenletek.
Tegyük fel, hogy van egy áramlás, amelyre a Jacobian egy ponton nem nulla. Ezután a leképezés topológiai (egy-egy és kölcsönösen folytatódó) e pont szomszédságában, és az áramlást leíró összes mennyiség a változók függvényének tekinthető, vagy
Ez a kanyargós integrál nem függhet az integráció útjától. Egyszerű számítások azt mutatják, hogy ennek érdekében a funkcióknak tekintett funkcióknak meg kell felelniük a differenciálegyenletek rendszerének
Ez a rendszer lineáris, mivel ezek az Exception (függőleges) függvények, mivel az ismeretlen függvények egyikét differenciálják a másodrendű egyenletekhez (Chaplygin-egyenlet)
Figyelembe véve (2.8), a (3.4) egyenlet a formában is felírható
Megjegyezzük, hogy a hodográfiai síkon az egyetlen olyan differenciálegyenlet létezik, amelyet a patak funkció kielégít, és hogy ez az egyenlet némileg egyszerűbb, mint a potenciál megfelelő egyenlete.
Az x és y független változók, amelyek az a függvények, lineáris differenciálegyenleteket is kielégítenek
Ezt közvetlenül ellenőrizhetjük, ha a (2.14) egyenletet egy rendszer formájában írjuk
és az eltartott és független változók szerepének megváltoztatásával vagy a (3.2) és (3.3) egyenletekkel. A (3.6) szerint létezik egy olyan függvény, amellyel
és a sebességpotenciál "Legendre transformation" -je megfelel a lineáris egyenletnek
A sebességpotenciál, az áramlási függvény és a sebességpotenciál Legendre transzformációját a kapcsolatok kapcsolják
A gázdinamika egyenleteinek linearizálására szolgáló két módszer természetesen egyenértékű. Általánosságban elmondható, hogy a határkörülmények rendkívül bonyolultak a hodográfiai síkon való áttérés esetén, és ez a körülmény még erőteljesebben jelentkezik a Legendre átalakulás során. Ezért Chaplygin linearizálása a legtöbb esetben előnyösebb.
Minden kapott a fenti lineáris egyenletek, a (3.3) a (3.7) vannak elliptikus a szubszonikus kerek parabolikus a Sonic kör és hiperbolikus a szuperszonikus régióban az utóbbi területen, az összes egyenletet azonos jellemzőkkel rögzített - sorképet
Mach a fizikai síkon.
Ezek a jellemzők egyenletekkel vannak megadva
A szuperszonikus régió mindegyik pontján két jellemző halad át, és a hangzáspont pontjai ezek a jellemzők egy pontot alkotnak. Adiabatikus áramlás esetén a (2.9) és (2.10) kapcsolatoknál a differenciálegyenlet (3.9) könnyen integrálható; az epicikloid kapható, nevezetesen a sugár körkörös pontjainak pályája, amely a hangtávolság mentén mozog (3.1. ábra).