5. kérdés!
Konvergens szekvenciák és tulajdonságaik
Fontolja meg a numerikus szekvenciákat.
A valós számok (xn) szekvenciája konvergensnek mondható. ha van valódi szám a, és tetszőleges ε> 0 esetén létezik egy természetes szám m, így minden n> m esetén az xn -a | <ε .
Ebben az esetben az a szám az úgynevezett szekvencia (xn) határa, amely szimbolikusan írja xn → a-t, mint n → ∞.
A logikai karakterek használatával a definíció a következőképpen íródott: a numerikus szekvencia (xn) konvergensnek mondható. ha
6. kérdés! Végtelenül nagy és infinitezimális szekvenciák
Definíció. sorozat <хn> végtelenül nagy, ha minden tetszőlegesen nagy pozitív A számra létezik egy N szám, attól függően, hogy ez az A. szám minden olyan későbbi n> N esetében, ahol az egyenlőtlenség | xn |> A.
Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy minden végtelen nagy szekvencia határtalan. A nem korlátozott sorozatok azonban nem lehetnek végtelenül nagyok. Például, határtalan szekvencia 1, 2, 1, 3, ..., 1, n + 1, ... nem végtelenül nagy, mivel az A> 1 egyenlőtlenség | xn |> A nem minden xn elemet kielégít, páratlan számokkal. Definíció. A szekvencia n> nevezzük infinitezimális, ha bármilyen tetszőlegesen kis pozitív szám ε> 0-ra van egy szám, amely attól függ, N. e, úgy, hogy minden n> N a egyenlőtlenség | αn | <ε:
Az infinitezimális és végtelen nagy szekvenciák közötti kapcsolat
Tétel 1 <хn> - végtelenül nagy szekvencia, és valamennyi kifejezése nemzero, majd a szekvencia
és ellenkezőleg, ha n> egy infinitezimális szekvencia, és valamennyi kifejezése nemzero, n> ≠ 0, akkor a szekvencia <1 / αn> - végtelenül nagy. Bizonyítás. enged <хn> Határozottan nagy sorozat. Minden tetszőlegesen kis pozitív számot ε> 0 és beállítjuk
A definíció szerint létezik olyan szám N, hogy n> N esetében van | xn |> A. Ezért kapjuk meg
minden n> N. És ez azt jelenti, hogy a sorozat
7. kérdés: Egy konvergens szekvencia korlátjának tétele
Ha a szekvenciának van egy véges határa, akkor a szekvencia korlátos. Definíció. Az xn> numerikus szekvencia korlátozott, ha létezik egy véges szám. hogy minden n
N. n> N. d (xn A) <1.
Az R = 1 sugárzás szomszédságában végtelen számú pont van, és ezen a környéken kívül véges számú pont van, feltételezzük, hogy ezek az x1, x2 pontok. ... xN. Válasszon ki egy számot
,
akkor minden n számára van
8. kérdés!
"A numerikus sorozat korlátjának egyedisége"
Definíció: Ha az a szekvenciának van egy határa, akkor ez a korlát egyedi. Három fő stílus használható:
Bizonyíték (ellentmondással): Tegyük fel, hogy ez a korlát nem egyedi, azaz. Két egymástói eltérő szekvenciahatár van. lim (n -> к-végtelenig) a = в1; lim (mint n → ∞ a végtelenig) a = θ2; C1 = v2Rassmotrim száma A = (c1 + c2) / 2 (ábra egy nyíl a vonalszakasz hozott v1v2 és A - középpont) B1 1. számú tulajdonság: A lim (n végtelenig végigvonuló) szekvencia esetén a = b, c> @, majd néhány számmal kezdve a szekvencia összes értéke kisebb lesz mint @). Következmény: Ha b> B, majd néhány számmal kezdődik, akkor a szekvencia összes feltétele nagyobb lesz mint B. Ha @ <в 2. sz. Tulajdonság: "Határidős szekvencia korlátja": Ha a lim (n végtelenül végtelen) an = c, akkor a szekvencia korlátos, és minden tagja számára az egyenlőtlenség @ Tételek a korlátokon: feltételezzük, hogy vannak 2-es szekvenciák, => lim (n végtelenig terjed) a = a; lim (n végül a végtelenig) вn = в -lim (n tart végtelenbe) (an + BN) = lim (n végtelenhez közelít) an + lim (n végtelenhez közelít) BN = a + a-lim (n tart végtelenbe) (an + BN) = lim ( n tart végtelenbe) an + lim (n végtelenhez közelít) BN = a - a-lim (n tart végtelenbe) (a * BN) = lim (n végtelenhez közelít) egy * lim (n a végtelenhez) BN = a * B-lim (n végtelenül hajlik) (an / bn) = lim (n végtelenig terjed) a / lim (n hajlamosKapcsolódó cikkek