Szoríts a sarokba
Kimutattuk, hogy ez a tulajdonság egy izometrikus izomorfizmus, vagyis egy bijektív lineáris térkép, amely megőrzi a skaláris terméket. A beszélgetés is igaz.
1. tétel. Ha φ egy izometrikus üzemeltető, akkor φ bijektív és megőrzi a skaláris terméket.
Bizonyítás. A φ bijectivitása az inverz operátor létezéséből következik φ -1 = φ *. Ellenőrizzük, hogy a skalár termék φ:
(Φ (x), φ (y)) = (x. Φ * (φ (y))) = (x. (Φ * φ) (y)) = (x. Id y) = (x. Y) .
Meghatározzunk ortonormális alapot e 1. e 2. ..., e n Euklideszi térben E. Legyen A φ legyen az izometrikus φ mátrix ezen alapon. Mivel a konjugált operátor φ * mátrixa ugyanabban az alapban van
= A. φ (vagy. = .φ az igazi esetben), akkor a φ izometriás operátor mátrixának tulajdonsága:
Nézzünk részletesebben az ilyen mátrixokat.
Definíció 8. Az O M n (R) mátrix ortogonális. ha O -1 = O T. Az U M n (C) mátrix egységes. ha U -1 = U T.
2. tétel. Egy egységes (ortogonális) mátrix sorai és oszlopai egységnyi hosszúságú páros ortogonális vektorok.
U mátrix. Következésképpen az U oszlopai is párosan ortogonálisak és egységhosszúak, QED-mel rendelkeznek.
Ez az U oszlopokra vonatkozó állítás is geometriai megfontolásokból nyerhető, ha U egy izometrikus operátor mátrixa az ortonormális alapon. A mátrix oszlopai az 1. e 2. ..., e n alapvektorok képeinek koordinátáit tartalmazzák. Egy izometrikus kezelő megőrzi a skalár terméket. Ezért az oszlopok - φ (e 1), ..., φ (e n) vektorok szintén ortonormális alapot képeznek.
Megjegyezzük, hogy egységes (ortogonális) mátrixok is előfordulnak, amikor az egyik ortonormálistól a másikig való átmenet mátrixát vizsgáljuk. Valóban, legyen e 1. e 2. ..., e n és e 1. e 2. ..., e n. - két ilyen alap és P az átmenet mátrixa az elsőtől a másodikig. A P mátrix oszlopai az e 1. e 2. ..., e n vektorok koordinátáiból állnak. az 1. e 2. alapból ..., e n. A mátrix P téma oszlopai
a legtöbb páros ortogonális vektor az egységhosszúságban. Ezért a P P P egy oszlop, amely páratlan skaláris oszlopokból áll, egyenlő E,
P T P = E. Így P P a P -1 mátrix inverze. és maga a P mátrix egységes (ortogonális).
Most tekintjük az U. det U egységes mátrix meghatározóját (a különböző sorokból és különböző oszlopokból vett mátrixelemek termékeinek megfelelő jeleit tartalmazó összeg) komplex szám.
helyettesítő fokozat n. sgn σ a jel, és S n az összes ilyen permutáció.
Mivel a komplex konjugáció az addíció műveleteivel vált át
és komplex számok szorzását, akkor det U = det U. Számítjuk a komplex szám modulusát.
Tétel 3. Legyen U egy egységes mátrix, majd | det U | = 1.
Bizonyítás. det (U U T) = det U det U T = det U det U = det U det U = | det U | 2.
De U U T = E. Következésképpen | det U | 2 = 1 és | det U | = 1, mivel egy komplex szám modulusa egy igazi pozitív szám. Az egységes mátrix meghatározója egy olyan komplex szám, amely abszolút értékű egységgel egyenlő, a következő formában írható:
det U = e i α = cos α + i sin α, QED.
Ha O egy ortogonális mátrix, akkor minden eleme valós és O = O. det O egy valós szám, és a 3. Tétel bizonyítékából | det O | 2 = 1. Ezért a valós esetben det O = ± 1.
Megjegyzés. Legyen e 1. e 2. ..., e n és e 1. e 2. ..., e n. Két ortonormális bázis található a valódi euklideszi térben, és P az átmenet mátrix az elsőtől a másodikig. P egy ortogonális mátrix, és következésképpen det P = ± 1. Azt mondjuk, hogy az alapok e 1. e 2. ..., e n és e 1. e 2. ..., e n. azonos irányultságúak. ha det P = 1, és fordítva. ha det P = -1. Tekintsük
hely R n. Bármely olyan alapot, amely ugyanolyan irányú, mint egy standard alap, pozitív orientációnak fogják nevezni. Az ellentétesen orientált bázisok negatív orientációnak számítanak. Ezek a definíciók általánosan definiálják a háromdimenziós vektortér vektorainak pozitív és negatív irányultságú háromszorosait az ortonormális bázisok esetében a standard euklideszi R n térben.
6. § Izometrikus üzemeltető tulajdonságai
Vegyünk egy lineáris L szubsztrátot az euklideszi E térben és annak ortogonális komplementerével L.
1. tétel. Ha L a φ izometriás operátor invariáns szubtérije, akkor L az operátor invariáns alrendszere is.
Bizonyítás. Minden x L és y L esetén: (x Y) = 0. Legyen yL; majd, hogy ellenőrizze invariáns altér L hatására az üzemben φ biztosítania kell, hogy (x φ (y).) = 0 minden x L. altér L invariáns az intézkedés az üzemeltető φ, tehát φ: L → L - izometrikus szereplő L azaz egy bijektív és lineáris leképezés. Ezért minden x L vektor írható: φ (x,), ahol x. = φ -1 (x). Így,
(x, y, y)) = (φ (x,), φ (y)) = (xy) = 0, mivel x. L. és y L. QED.
Emlékezzünk rá, hogy ha egy lineáris operátor (nem feltétlenül izometrikus) sajátvektorokkal rendelkezik, akkor is van invariáns szubszekvenciái, például az eigensubspaces V λ. Ezért ajánlatos az izometriás operátor φ invariáns szubpozitisainak keresését a spektrumának tanulmányozása útján.
2. tétel. Az izometrikus operátor jellemző egyenletének gyökerei egyenlőek egy modulusban.
Bizonyítás. 1. eset. Legyen φ izometrikus operátor az Euklidén E. komplexben.
A P φ (λ) polinom, mint minden olyan n ≥ 1 fokú polinom, amely a C mező fölött van, legalább egy gyökér λ 0-val rendelkezik (pontosabban, n gyökerekkel, amelyek sokaságát figyelembe veszik). Ez a gyökér az x0 sajátvektornak megfelelő φ operátor sajátértékét jelenti.
(x 0 x 0) = (φ (x 0), φ (x 0)) = (λ 0 x 0 λ 0 x 0) = λ 0 λ 0 (x 0 x 0).
λ 0 λ 0 = | λ 0 | 2. Mivel x 0 egy sajátvektor, akkor (x 0 x 0) ≠ 0 és | λ 0 | 2 = 1. Ezért | λ 0 | = 1.
(λ) = det (O - λ E), P φ (λ) = det (O - λ E).
De az 1. esetben kimutatták, hogy a jellemző multi-
modulo egyenlő 1, QED.
Mivel egy komplex lineáris térben a karakterisztikus egyenlet bármelyik gyöke sajátérték, az izometrikus operátor invariáns szubszekvenciákkal rendelkezik. Ha x 0 egy sajátérték, amely megfelel a λ 0 sajátértéknek, akkor annak lineáris skálája L =
= x 0 egy izometrikus operátor egydimenziós invariáns szubsztrátuma.
Valójában, ahogy a sík forgásvezérlőjének példája mutatja, egy α ≠ k π szög. egy izometrikus operátornak nem lehetnek nem triviális invariáns szubszekvenciái (vagyis a nullától és az egész térségtől eltérő alkörzetek). Ez annak köszönhető, hogy a jellemző egyenlethez nem származnak valódi gyökerek.
Tekintsünk egy φ izometriás operátort valódi euklideszi térben. A jellemző egyenlet gyökerei megegyeznek az egység modulo-val. Ha ezek valósak, akkor ezek a számok ± 1, amelyek az operátor sajátértékek, és a megfelelő megfelelő alkörzetek invariánsak. Ha a λ karakterisztikus egyenlet gyökere nem a
akkor λ = e i α. α ≠ k π.
3. tétel Legyen λ = e i α (α ≠ k π) - a gyökér a karakterisztikus egyenlet P φ (λ) = 0 izometrikus üzemeltető φ, működő valós euklideszi térben E; Ezután van egy kétdimenziós invariáns altér L E., amelyben az operátor egy rotációs φ a szög által α.
Bizonyítás. Egy ortonormális alapot rögzítünk e 1. e 2. ..., e n az E térben; O az operátor mátrixa ezen az alapon. Mint a 2. Tétel bizonyítéka, izometrikus izomorfizmust hozunk létre az E és E tér között
Az ortogonális L komplementer ugyancsak invariáns a φ operátor alatt. dim L = k. t. Hogy. E = LL és dim E = dim L + dim L. üzemeltető φ jár a térben L. és így az indukciós a térben L létezik ortonormáiis bázis e 2. ..., ek +1 sajátvektorok φ . Ezután e 1. e 2. ..., e k 1 - ortonormális alapján a helyet E. álló sajátvektorait φ, QED.
A mátrix egy izometrikus szereplő alapján sajátvektorok diagonális, és átlós számok modulus egy. Ily módon minden egyes egységes mátrix U létezik egy másik egységes mátrix V úgy, hogy V-1 UV - diagonális mátrix. Matrix V - az átmenet mátrix a referencia standard ortonormált bázis, ahol az üzemeltető határozza meg, mint amely a szorzás U. mátrix kanonikus alapján sajátvektorok amelynek létezését bizonyították 1. Tétel Más szóval azt mondhatjuk, hogy minden egységes mátrix hasonló egy diagonális különleges típus:
Ha φ - izometrikus szereplő valós euklideszi térben, akkor nem lehet ortonormált alapján sajátvektorok mint például forgatás a kezelő szögben α ≠ k π sík. Azonban még az igazi esetben is az izometrikus operátornak van egy speciális (kanonikus) ortonormális alapja.
2. tétel. Legyen φ egy izometriás operátor egy valódi euklideszi E térben; akkor ebben a térben létezik egy ortonormális alap, amelyben az operátor mátrixának formája:
Ez egy olyan sejt-átlós mátrix, amelynek egydimenziós sejtjei 1-es vagy -1-es számok, és a kétdimenziós egyek az α i szögű rotációs mátrixok.
Bizonyítás (a matematikai indukció módszerével). Tegyük fel, hogy φ működik
az egydimenziós euklideszi E térben. Ebben az esetben a φ operátor egy szorzás egy számmal, amely izometrikusan ± 1. Az egység hosszúságának e vektora
az E térben a szükséges alap.
Tételezzük fel, hogy a tétel igaz az e-egetikus E tereknél, amelyek kisebbek mint n (dim E homályos L = 1. A vektor e 1 = A 6. § 1. Tétele alapján az L alrendszernek invariáns a φ alatt, tehát φ a L dimensben L = n - 1 térben mûködik, és az indukciós hipotézis szerint az L térnek orthonormális alapja van. e 2. ..., e n. amelyben a φ operátor mátrixa rendelkezik a kívánt sejt-átlós formával. Az 1. e 2. ..., e n vektorok az E. ortonormális alapja, amelyben a φ operátor mátrixa rendelkezik a szükséges sejtdiagnosztikai formával. Ha nincsenek valós számok a φ operátor spektrumában, akkor fontold meg a karakteres egyenletnek a ceruza gyökere λ 0 = e i α 0. Tétel szerint 3, § 6 térben E van kétdimenziós invariáns altér L., amelyben az üzemeltető φ működik, mint egy forgási szögben α 0. Legyen E 1. e 2 - L. ortonormáiis bázis ortogonális komplement altér L invariáns tekintetében ménytényező és homályos L = n - 2. Az L indukciós hipotézissel létezik egy ortonormális alap 3. e, e n. amelyben a φ operátor mátrixának kanonikus alakja van. Vegye figyelembe, hogy ebben az esetben az átlón lévő összes sejt kétdimenziós, QED. E tételből ez azt jelenti, hogy ortogonális mátrix minden egyes O, van egy másik ortogonális mátrix Q (átmenet mátrix kanonikus alapon) olyan, hogy a Q -1 OQ - blokk-diagonális mátrix leírt 2. Tétel. Végül megjegyezzük, hogy egy ortogonális mátrix kanonikus formája egyedileg határozható meg a sejtek permutációjával a diagonálishoz képest. 8. Izometrikus üzemeltetők a síkban és az űrben 2. Tétel Az előző szakasz lehetővé teszi a gazdasági minősítette izometrikus síkot a háromdimenziós térben, amely leírja nemcsak az összes ortogonális mátrixok méret 2 és 3-ig hasonlóság, hanem a megfelelő geometriai szereplők. A φ izometrikus operátort a síkban, vagyis a kétdimenziós Euclidean R 2 térben vizsgáljuk. A φ operátor mátrixának kanonikus alakja egyedileg határozható meg a diagonális cellák sorrendjében. Legyen e 1. e 2 egy ortonormális alapja a 2. helynek. φ a kanonikus alak. Ha O = a 0 kivételével a φ sajátvektorok sajátértékkel -1. A φ operátor a térben a szimmetriát a következő eredménnyel kapcsolatban végzi: φ (x) = - x. Most tegyük fel, hogy léteznek nem valós számok a φ operátor spektrumában. A φ operátor izometrikus, ezért az 1. tétel 2. tétele szerint ezek az e i α alakok száma. A P φ (λ) karakterisztikus polinomnak valós koefficiensei vannak. Mint ismeretes, a valós polinomok nem valódi gyökerei a A letöltés folytatásához össze kell gyűjtened a képet:Kapcsolódó cikkek