A zöld formula
A Zöld képlet létrehozza a kapcsolatot a kettős integrációval a domain fölött
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-2f60ebb6.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-1b201929.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-0a91084d.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-811b5d9d.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-271d3c69.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-aa7eaefa.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-df9c957e.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-9b26fafc.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-126335b4.png)
Tegyük fel, hogy a domainben
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-5846c8c6.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-2b361763.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-7818a918.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-ea7ffc1f.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-da7da32d.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-4f92fab8.png)
,
ahol kontúrperiódus
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-f8f1b80c.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-9c488721.png)
ahol kontúrperiódus
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-0a72724d.png)
Ha a (2) kifejezésből az (1) kifejezéssel elvonjuk a kifejezést, megkapjuk a zöld formulát
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-e28bdeb2.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-36cdedbd.png)
Megjegyzés 1. Ha egy útvonalat halad át
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-7a75f3fb.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-eb2e020a.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-057dc1ed.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-cd6d91a8.png)
Megjegyzések 2. A Zöld képlet lehetővé teszi egy tartomány területének számítását egy görbe vonalú integrál segítségével. Valójában, ha,
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-f036b509.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-6cde9d5e.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-59bd2a65.png)
ahol kontúrperiódus
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-f7be1fb2.png)
Egy példa. Határozzuk meg, egy görbe vonalú integrál segítségével, egy félperselyes ellipszis által körülhatárolt területet
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-6a5933ad.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-149d5aef.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-f921a14d.png)
A megoldás. Az ellipszis paraméteres egyenleteit írjuk le
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-07517454.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-f6d5bc0c.png)
És a (3) képlet segítségével
.
Az integráció útjának görbületi integráljának függetlenségi feltételei
Tekintsük a görbe vonalú integrált elemet
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-96593fd5.png)
átvette a sík görbét
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-620d4e75.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-ceb07bdb.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-5a67e496.png)
Feltételezzük, hogy a funkciók
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-7d32964f.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-3ab2ecbf.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-4ea3e223.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-68f52297.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-aa65af88.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-18fc8bb9.png)
Vegyünk két önkényes görbét
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-d9d508f4.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-5fba1c49.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-bf147f05.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-2a54a50d.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-6ce80668.png)
.
Ezután a görbületi integrálok 1. és 2. tulajdonságai alapján:
,
azaz egy kanyargós, egy zárt kontúr felett
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-0fcb2dfb.png)
Az utolsó képletben a görbe vonalú integrál egy zárt kontúr mentén történik
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-34bede0f.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-09cc1ff8.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-bb17ec83.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-0bb3d29c.png)
Így abból a feltételből, hogy bármely két pontot
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-65526f86.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-dd30e08d.png)
Az ellentétes is igaz: ha a kanyargós illesztés bármely zárt kontúr fölött nullával egyenlő, akkor ez a görbe vonalú integrál nem függ a két tetszőleges pontot összekötő görbe alakjától, de ezektől a pontoktól függ. Valójában az egyenlőség (2) egyenlőséget jelent (1).
Természetesen felmerül a kérdés: milyen feltételeknek kell a funkciók
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-83b5c219.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-bfd1c525.png)
Tétel. Tegyük fel, hogy valamilyen tartomány minden pontján
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-cc58c1f8.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-50b8b9e8.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-e5e8ce43.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-a6bd7694.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-97ccf68b.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-a3633945.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-4068fc78.png)
a régió minden pontján
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-8fa30875.png)
Bizonyítás. Vegyünk egy tetszőleges zárt hurkot
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-e094a66c.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-460ee1e1.png)
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-a3518799.png)
Ha a feltétel (3) teljesül, akkor a kettős integrál a bal oldalon azonos, nulla,
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-7196342e.png)
Tehát a (3) feltétel elegendő.
Most igazoljuk ennek a feltételnek a szükségességét; azt bizonyítjuk, hogy ha (2) bármelyik zárt görbéhez tart
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-bc2ad269.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-c67e7694.png)
Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg, (2) elégedett,
![A Green formula (bármely zárt kontúrba integrálva) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-ae614f2b.png)
és a feltétel (3) nem rendelkezik,
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-4f670d16.png)
legalább egy ponton. Legyen például egy bizonyos ponton
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-475c4759.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-95fce662.png)
Mivel az egyenlőtlenség bal oldala folyamatos funkciót tartalmaz, pozitív lesz és nagyobb, mint egy bizonyos szám
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-e48aa0c2.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-9bb81a46.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-d17c1d2c.png)
![A zöld (formula) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-f72d02aa.png)
.
De a zöld képlet alapján az utolsó egyenlőtlenség bal oldala egyenlő a határvonal mentén a görbe vonalú
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-61d98ca6.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-147eb07c.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-ca2c82af.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-ac2d9ec9.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-469ffce0.png)
![A zöld képlet (integrálva minden lezártnak) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-03a242c5.png)
![A zöld (zöld) A zöld formula](https://images-on-off.com/images/207/formulagrina-6c142984.png)