Előadások (10
Tegyük fel, hogy a pontos értékek helyett ezek közelítése adódik, ahol kerekítési hibák vannak. majd
A nagyobb tisztaság érdekében feltételezzük, hogy (a negyedik fokú polinom) (12 számjegyből álló számítás), majd
Az utolsó képletből következik
1. ha (ha, akkor helyett);
2. hogy nincs értelme, és mikor kapjuk a legjobb pontosságot.
Numerikus integráció
A funkciók integrálása az egyik alapvető matematikai művelet. Ebben a fejezetben klasszikus megközelítést alkalmazunk az interpolációs kvadratúra-képletek konstrukciójára egy meghatározott integrál
ahol a pozitív függvény ilyen.
Fogalommeghatározás 1. A képlet
a függvény integrális (1) hozzávetőleges kiszámításának nevezik a második csomóponton a súlyokkal.
Mivel a függvénynek a kvadratúra-képlet csomópontjaiban levő értékeiből, interpoláló polinomot alakíthatunk ki Lagrange
hol, akkor természetes lenne a kvadratúra formula (2) súlyának meghatározása a formában
és a képletet maga az interpolációs kvadratúra formulanak nevezik.
A (2) kvadratúra-képletet interpolációs kvadratúra-képletnek nevezzük, ha súlyát a (4) képlet segítségével számítjuk ki.
Gyakorlatilag nyilvánvaló, hogy az interpolációs kvadratúra-képlet (2) pontos lesz (azaz), ha a függvény legfeljebb egy fokú polinom. És ellenkezőleg, ha a kvadratúra-formula (2) pontosan bármely fokú polinom, akkor interpolációnak kell lennie, vagyis képletének tartalmaznia kell a (4) képletet, amelyet könnyen ellenőrizhetünk, ha bármelyiket megragadjuk.
A kvadratúra-képlet (2) algebrai pontossági foka olyan egész szám, amelyen a kvadratúra-képlet pontos minden polinom
fokozatosan és lefelé.
Tétel 1. A kvadratúra formula (2) egy helyszínen egy interpolációs kvadratúra-formula, ha és csak akkor, ha algebrai pontossággal rendelkezik.
Tétel 2. Ha egy függvény, akkor az integrál (1) és annak közelítése az interpolációs kvadratúra formula (2)
Ezt a tételt igazolja a függvény és az 1. tétel interpolációs hibájának becslésével.
Gauss-kvadratúrák a legmagasabb algebrai pontossággal
Így minden csomórendszeren az interpolációs kvadratúra-formula (2) legfeljebb a legmagasabb fokú polinomok dimenziójának lineáris térspecifikus pontossága.
Természetesen felmerül a kérdés: lehetséges-e a kvadratúra-képlet algebrai pontosságának növelése a csomópontok (paraméterek) kiválasztása miatt?
A kvadratúra-képletet (2) a paraméterek határozzák meg, és reménykedhet, hogy azok úgy választhatók ki, hogy a képlet pontos lesz a polinomok esetében, de nem több.
3. tétel. A helyszínen lévő kvadratúra-képlet (2) nem lehet algebrai pontossággal.
Bizonyítás (ellentmondással).
Tegyük fel, hogy létezik egy kvadratúra-képlet az algebrai pontossági fokon.
Ezután az 1. tétel szerint interpoláció, pontos a polinom, azaz a. de
, mivel (a kvadratúra csomópontjai a polinom gyökerei),
, mivel a funkció szinte mindenütt jelen van.
Következésképpen a feltevéshez kapott ellentmondás bizonyítja a tételt.
Tétel 4. Ha a kvadratúra formula (2) egy helyszínen algebrai pontossággal rendelkezik, akkor interpolál, és a polinom ortogonális tömeggel minden alacsonyabb fokú polinomra, vagyis a következő feltételekkel határozható meg:
Adjuk meg az algebrai pontossági kvadratúra-képletet. Ezután az 1. tétel szerint interpoláció.
Mivel a polinom mértéke nem haladja meg a kvadratúra-képletet (2) pontosan, és
amit be kellett bizonyítani.
Tétel 5. Ha egy polinom ortogonális az összes alacsonyabb fokú polinom esetében, akkor az interpolációs kvadratúra formula (2) algebrai pontossággal rendelkezik.
Mivel a kvadratúra formula (2) interpolálja, az 1. tétel szerint pontosan a polinomokra hat.
Képes önálló tetszőleges polinomot képviselni, formában osztva.
mivel a tétel hipotézise szerint a polinom ortogonális az alacsonyabb polinomokra, és a interpolációs kvadratúra formula (2) pontosan a fokú polinomokra esik.
Másrészt,
,amit be kellett bizonyítani.
Így az interpolációs kvadratúra-formula (2) akkor és csak akkor létezik, ha (4. és 5. tétel) a polinom ortogonális, és az alacsonyabb fokú polinomok tömegével, pártól eltérő gyökerekből állnak.
6. tétel: A polinom ortogonális, súlya minden alacsonyabb fokú polinom esetében:
létezik, egyedülálló, és egyszerű gyökere van, vagyis a kvadratúra csúcsai (Gauss) a legmagasabb algebrai pontossági fokon.
Nyilvánvaló, hogy meghatározzuk a polinom együtthatóit, lineáris algebrai egyenletek rendszere van
A megoldás létezésére és egyediségére elegendő és szükséges a homogén rendszer
csak a nulla megoldás volt. Tegyük fel, hogy a homogén rendszer (6) megoldást talál. Ezután megszorozzuk az ε-egyenletet, és hozzáadjuk az általunk kapott eredményeket
amiből az következik, hogy mindennek nullanak kell lennie.
Továbbra is meg kell vizsgálni a polinom gyökereit.
Tegyük fel, hogy a polinom összes tényleges gyökere egyenletes sokféleséggel bír,
azaz ahol a polinom azonos módon van meghatározva.
De mivel a polinomnak meg kell változtatnia a jelet, ami ellentmond a származásnak az összes gyökér paritásának feltevésével.
Következésképpen a polinomnak páratlan sokasága van.
Legyen a polinom páratlan sokféleségének gyökere.
Ha (), akkor minden gyökér páronként különbözik, és a tétel bizonyított.
ahol a polinomot definiálják.
De mivel a polinom foka kisebb, akkor ortogonális,
amiből az következik, hogy a megjelölésnek megváltoztatnia kell, ami ellentmond a jel definíciójának feltételezéséből.
Következésképpen a tétel bizonyított.
Tétel 7. Ha a függvényt, akkor a helyszínen a kvadratúra Gauss-képlethez (2) tartozó integrált (1) számítás pontosságát a következő egyenlőtlenség becsüli:
A bizonyítás gyakorlatnak számít.
A Gauss-kvadránsok konvergenciája
A Gauss-kvadratúrák egyik figyelemreméltó tulajdonsága, hogy minden funkcióhoz konvergenciát észlelnek (megjegyezzük, hogy az interpolációs polinomiák nem konvergálnak az önkényes folyamatos függvényhez).
Tétel 8. Ha egy függvény, akkor az interpolációs kvadratúra formula (2) konvergál a pozitív súlyú csomópont integráljához (1).
Mivel a Weierstrass-tétel szerint létezik ilyen polinom
Ezután az interpolációs kvadratúra formula (2) párosán elkülönülő csomópontokra pontosan az u polinomiánál van
amit be kellett bizonyítani.
Lemma. A Gauss-kvadratúrák súlya pozitív.
A Gauss-kvadratúra (2) a polinomokra pontosan egy erőhöz kötődik, és így pontosan egy fokú polinomban van:
A kvadratúra formulák stabilitása
Gyakran előfordul, hogy egyik vagy másik okból a csomópontokon az integrable funkció értéke hibás.
ha a kvadratúra pontos az állandónál, súlya pozitív.
Ebből következik, hogy az integrálható függvény kis változásai megváltoztatják az integrális kis érték közelítő értékét, függetlenül a kvadratúra csomópontok számától.
Példák a kvadratúra képletekre
Ebben a részben egy meghatározott integrál megközelítéséhez
1. Példák az interpolációs kvadratúra-formulákra
egy súlycsomóponton
2. Megtaláljuk az algebrai pontossági fokot: ehhez szükséges és elegendő a maximális egész szám megtalálása
3. Konkréztessük az interpolációs kvadratúra hibájának becslését az algebrai pontosság-pont második pontjában: