Előadások
Előadás 8. HELYI EXTRÉMUMOK
1. Egy függvény egyhangúságának jelei.
2. A funkció helyi és globális végső pontjai.
3. Szükséges és elégséges feltételek egy funkció helyi végső csoportjának létezésére.
4. A funkció legnagyobb és legkisebb értéke egy intervallumban.
1. Egy függvény egyhangúságának jelei.
A függvény deriváltját lehet teljessé tenni a kutatás (találni időközönként növekedését és csökkenését, szélsőséges, az inflexiós pontot, időközönként konvexitás és konkáv, aszimptota a grafikon), és felhívni a függvény grafikonját.
Tétel 1. Annak érdekében, hogy az a (b) -re differenciálható függvény ne csökkenjen (ne növelje) ebben az intervallumban,
Szükséges és elegendő
Δ f (x0) = f (x) - f (x 0) <0 ( ∆ f ( x 0 ) = f ( x ) − f ( x 0 )> 0).
Az f (x 0) értéket a helyi maximumnak (mini-
max () f (x) = f (x 0)
(min () f (x) = f (x0)).
A függvény maximális vagy minimális pontjait a függvény végső pontjának nevezzük. és a függvény maxima és minimumait a függvény extrema-nak nevezzük.
A függvény szélső értékei helyi jellegűek - ez a függvény legnagyobb vagy legkisebb értéke a közeli értékekkel összehasonlítva. Ha a f (x) függvény a [a; b] ime-
Több maxima és minima is van, akkor akkor, ha a funkció maximális értéke kisebb, mint a minimális.
A funkció legkisebb és legnagyobb értéke [a; b] -called
a f (x) függvény abszolút minimális és maximális vagy globális extrema,
Jelezték. min f (x). max f (x).
x [a; b] x [a; b]
3. Szükséges és elégséges feltételek egy funkció helyi végső csoportjának létezésére.
2. tétel. Ha a x 0 pontnál az f (x) függvény eléri az ex-
akkor a származéka ebben a pontban nulla vagy nem létezik.
► Legyen f (x) maximálisan elérje a x 0 pontot. Aztán ott van
akkor létezik egy f '(x 0) és f' (x 0) = f - '(x 0) = f +' (x 0) = 0 származék.
Abban az esetben, ha f - '(x 0) és f +' (x 0). a nullától különböznek, akkor a f '(x 0) származék nem létezik.
Hasonlóképpen bizonyítjuk az esetet, amikor x 0 a minimális pont.
A tétel geometrikus jelentése. a f (x) végső pontján a grafikon érintője
1) párhuzamos az abszcissza tengelyével, ha létezik f '(x 0) = 0 (2.a. ábra);
2) párhuzamos az ordinát tengelyével, ha f '(x 0) végtelen (2b.
3) nincsenek egybeeső bal és jobb oldali érintő, ha f - '(x 0) ≠ f +' (x 0) (2c.
Fogalommeghatározás 2. Az a pont, amelyen egy függvény származtatott
y = f (x) eltűnik, vagy nem létezik
kritikus pontok vagy lehetséges végső pontok. A pontok,
amelyben az y = f (x) függvény deriváltja eltűnik,
2) ha n egyenletes és f (n) (x 0)> 0. akkor x 0 helyi minimális pont;
3) ha n páratlan, akkor x 0 nem helyi pont
4. A funkció legnagyobb és legkisebb értéke egy intervallumon belül.
Az f (x) függvény egyik fő jellemzője az intervallumon
[A; b] globális szélsőségei, azaz A f (x) legnagyobb és legkisebb értéke [a; b].
Ha az f (x) függvény folyamatos [a; b]. akkor ez a szegmens végein a legnagyobb és legkisebb értéket veszi igénybe
vagy a helyi extremum pontjaiban. Ezért, a