Alapja a gépen és az űrben - a stadopedia
Definíció. A sík alapja bármely két lineárisan független vektor.
A 2. Tételből (lásd 4. pont) következik, hogy két önkényes, nem kolináris vektor képezi a bázist. Legyen bármilyen vektor a síkban, és a vektorok képezik az alapot. Mivel a síkban mindhárom vektor lineárisan függ, a vektor lineárisan expresszálódik a bázis vektorok szerint,
.
Ha a vektor a (3) formában van ábrázolva, akkor azt mondjuk, hogy az u vektorok által létrehozott bázisban bővül. Az u számokat a vektor koordinátáinak nevezik a síkban az u alap alapján
1. A vektor tágulása az u-hez képest egyedülálló
Bizonyítás. Tételezzük fel, hogy a bővítéssel (3) együtt egy bomlás van
Mutassuk meg, hogy ebben az esetben Valóban, levonva (4) a (3) -ből, megkapjuk a kapcsolatot
(A (4) és (3) egyenlõtételek távolsá- gos kivonásának lehetõsége és az így létrejött csoportosítás a vektorokon végzett lineáris mûveletek tulajdonságait követi (lásd 2. alfejezet). Az alapvektorok. lineárisan függetlenek, akkor és. Itt van. azaz a vektor bázisa az alap alapján. az egyetlen.
Definíció. A térben alapul bármely három lineárisan független vektor.
A 2. Tételből (lásd az 5. pontot) következik, hogy három önkényes, nem repoplanáris vektor képezi alapját. Mint egy sík esetében, megállapítható, hogy bármely vektor kiterjeszthető vektorok tekintetében. és
és ez a bomlás egyedülálló.
Számokat. . a vektor térbeli koordinátáinak nevezik az alap alapján. és.
Az alap alapja, hogy a vektorok lineáris műveletei a bázis definíciójában lineáris lineáris műveletekké válnak a számokon - e vektorok koordinátái.
Tétel. Amikor a két vektor hozzá van adva, és a hozzá tartozó koordináták (bármely alapra vagy bármilyen alapra vonatkoznak). Ha a vektort megszorozzák bármelyik számmal, és minden koordinátáját megszorozzuk ezzel a számmal.
Bizonyítás. Tegyük fel például,
.
Ezután a lineáris műveletek tulajdonságai (lásd 2. pont)
A bővítés egyediségének köszönhetően. . ennek az alapnak a tétele bizonyított.