A funkciók különbözősége
Az y = f (x) függvényt egy bizonyos x0 pontban differenciálhatjuk. Ha határozott származéka van ezen a ponton, azaz Ha a kapcsolat korlátja létezik, és véges.
Ha a függvény egy bizonyos intervallum [a; b] vagy intervallum (a; b), akkor azt mondjuk, hogy differenciálható az [a; b] vagy az intervallumban (a; b).
A következő tétel érvényes, összekapcsolva a differenciálható és a folyamatos függvényeket.
Tétel. Ha az y = f (x) függvény egy bizonyos x0 pontban differenciálható. akkor folyamatosan ezen a ponton.
Így egy függvény differenciálhatósága folytonosságot jelent.
Bizonyítás. Ha igen, akkor
ahol α egy infinitezimális; egy olyan mennyiség, amely nullára, Δx → 0. De akkor
Így a diszkontinuitás pontjaiban a funkciónak nincs származéka. Az ellentmondás nem igaz: léteznek olyan folyamatos funkciók, amelyek bizonyos pontokon nem különböztethetők meg (azaz nincsenek származékaik ezeken a pontokon).
Tekintsük az ábrán az a, b, c pontokat.
A Δx → 0 pontnál az aránynak nincs korlátja (mivel az egyoldalú határok eltérnek a Δx → 0-0 és a Δx → 0 + 0 értékeknél). A gráf A pontján nincs határozott tangens, de két különböző egyoldalú tangens van k1 és k2 szögegyütthatókkal. Ezeket a pontokat sarokpontoknak nevezzük.
A b értéknél Δx → 0 esetén az arány egy jel-állandó végtelen nagy mennyiség. A függvénynek végtelen származéka van. Ezen a ponton a grafikon függőleges tangens. A pont típusa a függőleges érintő "elhajlási pontja".
A c pontban az egyoldalú származékok végtelenül nagy mennyiségű különböző jelek. Ezen a ponton a grafikonnak két összekapcsolt függőleges érintője van. Típus - "visszatérési pont" függőleges érintővel - egy sarokpont különleges esete.
- Tekintsük a y = | x | függvényt Ez a függvény folyamatos az x = 0 ponton; .
Megmutatjuk, hogy ebből a pontból nincs származéka.
De akkor Δx esetén <0 (т.е. при Δx стремящемся к 0 слева)
így a Δx → 0 arány a jobb és a bal oldalon különböző határokkal rendelkezik, és ez azt jelenti, hogy a határ aránya nem, a y = | x | függvény deriváltja az x = 0 pontban nem létezik. Geometrikusan ez azt jelenti, hogy az x = 0 pontnál ez a "görbe" nem rendelkezik határozott érintővel (jelenleg kettő van).
Következésképpen a szóban forgó függvény nem különböztethető meg az x = 0 pontban. A görbe érintője ebben a pontban p / 2 szöget képez az abszcissza tengellyel, vagyis az abszcisszal. egybeesik az Oy tengelyével.