Kérdések és problémák, diszkrét matematika
2.1. Van egy művelet ⨀ az M asszociációban, ha:
b) M = ℤ, x⨀y = x2 + y2
c) M = ℝ, x⨀y = sinx siny;
d) M = ℝ \, x⨀y = xy x / | x |
2.2. Legyen S az alakzat mátrixainak félcsoportja, ahol x, y ∈ ℝ, a szorzás mûködésével. Van bal vagy jobb semleges eleme?
2.3. Egy M-ban egy bináris műveletet az x, y = x szabály határoz meg. Bizonyítsuk be, hogy (M,.) Egy félcsoport. Mit lehet mondani a semleges csoport semleges elemeiről? Milyen esetekben van csoport?
2.4. Legyen M önkényes halmaz. Az M2 halmazon egy műveletet az (x, y) szabály határoz meg (Z, t) = (x, t). Az algebra (M 2) egy félcsoport? Van semleges eleme?
2.5. Adjon példát egy félcsoportra egy bal egységgel (semleges elem), amely nem monoid.
2.6. Melyik ilyen sorból álló négyzetes valós mátrixok egy csoportot alkotnak:
a) a nem reprodukált mátrixok halmazát a szorzáshoz képest;
b) a nem adszorbens mátrixok készletét a hozzáadáshoz képest;
c) a hozzáadással kapcsolatos diagonális mátrixok készlete;
d) az átlós mátrixok halmazát a szorzáshoz képest?
2.7. Bizonyítsuk be, hogy ha az x 2 = 1 azonosság a g csoportban minden x ∈ G esetén megmarad, akkor a g csoport kommutatív.
2.8. Az S4 csoportban oldja meg az egyenleteket:
2.9. A mező az x + √2y űrlap számsorát tartalmazza, ahol x, y ∈ ℚ. a kiegészítés és a szorzás szokásos műveleteivel?
2.10. Bizonyítsuk be, hogy az n fix rendű felső háromszög mátrixok halmaza az n összes négyzetes mátrix gyűrűjének kinevezése. Igaz ez az átlós és az alsó háromszög mátrixokra?
2.11. Példa egy gyűrű egy elemére, azaz egy gyűrűre. amelyben 0 = 1.
2.12. Az R = (R, +, ⋅, 0, 1) gyűrűt Boole-gyűrűnek nevezzük. Ha a szorzása idempotens, azaz. x ⋅ x = x bármelyik x ∈ R. Igazoljuk, hogy:
a) az x + x = 0 logikai gyűrű minden x elemére. x = x;
b) minden logikai gyűrű kommutatív;
c) minden olyan Boole-gyűrűben, amely több mint két elemet tartalmaz (| R |> 2), nulla osztó van.
2.13. Bizonyítsuk be, hogy (2M Δ, ∩, ∅, M) egy logikai gyűrű (lásd 2.12. Bizonyítsuk be, hogy az izomorf ℤ2 az | M | esetében = 1.
2.14. Mutassuk meg, hogy az x x + 2 + x + 1 x változóban lévő polinomok részaránya a polinomiák hozzáadásával és szorzásával járó műveletek gyűrűje. Ez a gyűrű egy mező?
2.15. A gyűrű x elemét invertibilisnek nevezik. ha van olyan elem x 'olyan, hogy x ⋅ x' = x '= x ⋅ x Ring 1. Element úgynevezett reverzibilis bal (jobb), ha létezik x', oly módon, hogy x '= x 1 ⋅ (x ⋅ x' = 1). Eleme a gyűrű az úgynevezett egyoldalú visszafordítható, ha balra vagy jobbra.
Egy gyűrű x ≠ 0 elemét bal (jobb) nullapontosztónak nevezzük, ha létezik egy y gyűrű nem nulla eleme, azaz x ⋅ y = 0 (y ⋅ x = 0); Egy olyan elem, amely egy bal és egy nullához tartozó jobb osztó egyidejűleg nulla osztónak nevezik.
a) a véges gyűrű eleme invertálható (balra, jobbra) ha és csak akkor, ha nem nulla osztó (jobb, bal);
b) egy véges gyűrűben és egy nulla osztó nélküli gyűrűben, bármelyik egyoldalú invertible elem invertible;
c) a maradékgyűrű formájának k eleme invertálható, ha és csak akkor, ha viszonylag k elsődleges.
2.16. Legyen R gyűrű. Bizonyítsuk be, hogy:
a) Ha az xy és yx termékek invertible, akkor az x és y elemek is invertálhatók;
b) ha nincs nullosztó R-ben és xy termék invertálható, akkor ezek invertible;
c) ha R véges és az xy termék invertálható, akkor x és y invertible.
Figyelmeztetések: használja a 2.15. Feladat eredményeit.
2.17. Bizonyítsuk be, hogy a gyűrű összes invertálható elemének halmaza (lásd 2.15. Feladat) csoportot képez a szorzásban.
2.18. Oldja meg az egyenletrendszert
2.19. Határozza meg, hogy az egyenletek rendszere
2.20. Bemutatjuk az S csoport „mozgás” (forgatás) a kör, mint egy csoport, amelynek elemeit az összes lehetséges forgatások, radiánban forgatását, ahol bármilyen szögben többszöröse 2π, amely nulla forgatás (a személyazonosságát a pontok halmaza egy kör).
Bizonyítsuk be, hogy az S csoport izomorf a ℝ / the hányados csoporthoz, amely viszont izomorf az 1-es addíciós csoporthoz az 1-es számú valós számokhoz.
2.21. Legyen M = (G, +, 0. a, Α ∈ R>) legyen a bal oldali modul az R = (R, +, ⋅, 0, 1) gyűrű felett. Az R gyűrűelem elemeinek és a leképezések egymás között egyezik-e egymással? Pontosabban, a nulla leképezés mindig csak az Rt nulladiként van meghatározva?
Megjegyzés: vegye figyelembe a formát (x 0) T. x ∈ R oszlopmátrixainak bal oldali modulusát, a második sor felső háromszög mátrixainak gyűrűjén, és mutassa meg, hogy a kérdésekre adott válaszok negatívak.