Nyomásos feltérképezés

A tömörítési feltérképezés egy metrikus tér leképezése önmagába, csökkentve a két pont közötti távolságot

\ alpha> 1

időben. A Banach-tétel szerint. egy komplett metrikus tér tömörítő leképezésére önmagában létezik egy rögzített pont, pontosan egy. Ez a kijelentés, amelyet más néven "összehúzódás feltérképezése" elvnek is neveznek, széles körben használatos a különböző matematikai állítások bizonyítására.

meghatározás

Tegyük fel, hogy egy metrikus téren $(\ mathbb, \ rho)$ meghatározott operátor $A: \ mathbb \ to \ mathbb$ . Úgy hívják a nyomógombot $\ mathbb$ , ha van egy nemnegatív szám $\ alpha<1$ , hogy bármelyik két pontnál $x, y \ in \ mathbb$ az egyenlőtlenség

folytonosság

enged $(\ mathbb, \ rho)$ Egy metrikus tér és $\ mathbb<>A$ - összehúzódás operátor $\ mathbb$ . majd $\ mathbb<>A$ Egy folyamatos funkció van $\ mathbb$ .

Véletlen elemet veszünk $\ in \ mathbb$ . Meg kell bizonyítani (egy függvény folytonosságának meghatározásával), hogy $\ forall \ varepsilon> 0 \ quad \ létezik \ delta> 0:$ a $\ forall \ in \ mathbb: \ rho (a, x)<\delta\to$ . A kontrakciókezelő számára elegendő $\ delta = \ varepsilon: \ rho (Aa, Ax) \ leqslant \ alpha \ cdot$ .

Rögzített pont

A Banach-tétel szerint egyedülálló rögzített pont van a kontraktív leképezésre egy teljes metrikus téren.

Iteratív szekvencia

Ha egy metrikus tér tetszőleges elemét vesszük $x$ és fontolja meg az elemek sorrendjét $x, Ax, A ^ 2x.$ , Ez az iterációs szekvencia konvergál a kezelő állandó pontjához $A$ .

kérelem

Kapcsolódó cikkek

előző ◈ a következő