Jordan mátrix 1

A Jordán mátrix egy négyzetes blokk-átlós mátrix a mező fölött $\backslash \; Bbb\; K$, blokk formájában

\ lambda 1 0 \ cdots 0 0 \\ 0 \ lambda 1 \ cdots 0 0 \\ 0 0 \ lambda \ ddots 0 0 \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \\ 0 0 0 \ ddots \ lambda 1 \\ 0 0 0 \ cdots 0 \ lambda \\\ end. Minden blokk $J\_\; \backslash \; lambda$ Jordan-cellának nevezzük sajátértékkel $\backslash \; lambda$ (a különböző blokkokban lévő sajátértékek általánosságban egybeeshetnek).

A Jordan normál formájának tétele szerint tetszőleges négyzetes mátrixra $A$ egy algebrailag zárt mező fölött $\backslash \; Bbb\; K$ (például a komplex számok mezőjét $\backslash \; Bbb\; K\; =\; \backslash \; Bbb\; C$) létezik négyzetes nondegenerátum (azaz invertible, non-zero determinant) mátrix $C$ felett $\backslash \; Bbb\; K$, ilyen

egy Jordan mátrix. Ebben az esetben, $J$ a mátrix Jordán formája (vagy Jordánia rendes formája) $A$. Ebben az esetben azt is mondjuk, hogy a Jordan mátrix $J$ a területen $\backslash \; Bbb\; K$ hasonló (vagy konjugált) egy adott mátrixhoz $A$. Ezzel szemben az egyenértékű kapcsolat

mátrix $A$ hasonló a területen $\backslash \; Bbb\; K$ mátrix $J$. Nem nehéz megmutatni, hogy az ilyen módon bevezetett hasonlósági viszony egy egyenértékűségi viszony, és egy adott mező összes négyzetes mátrixának halmazát felosztja egy adott mező fölé diszjunkt egyenértékűségi osztályokba. A mátrix Jordán formája nem egyedileg van meghatározva, de a Jordán blokkok sorrendjéig. Pontosabban, két Jordán mátrix hasonló $\backslash \; Bbb\; K$ ha és csak akkor, ha ugyanabból a Jordán sejtekből állnak, és egymástól csak a sejtek elhelyezésénél fogva különböznek egymástól.

• A Jordan cellák száma a következő $n$ sajátértékkel $\backslash \; lambda$ a mátrix Jordániában $A$ kiszámítható a képletből $c\_n\; (\backslash \; lambda)\; =$

\ operatorname (A - \ lambda I) ^ 2 \ operatorname (A - \ lambda I) ^ + \ operatorname (A - \ lambda I) ^,

ahol $én$ Az azonosító mátrix ugyanolyan sorrendben van, mint a $A$, szimbólum $\backslash \; operatorname$ a mátrix rangját jelöli. és $\backslash \; operatorname\; (A-\; \backslash \; lambda\; I)\; ^\; 0$, definíció szerint egyenlő a renddel $A$. A fenti képlet az egyenlőségből következik $\backslash \; operatorname\; (A-\; \backslash \; lambda\; I)\; =\; \backslash \; operatorname\; (J-\; \backslash \; lambda\; I).$

• Abban az esetben, ha a mező $\backslash \; Bbb\; K$ nincs algebrailag zárva. annak érdekében, hogy a mátrix $A$ hasonló volt $\backslash \; Bbb\; K$ bizonyos Jordan blokk, szükséges és elegendő, hogy a mező $\backslash \; Bbb\; K$ tartalmazta a mátrix jellemző polinomjának minden gyökereit $A$.
• Hermitiai mátrixban minden Jordán sejt 1-es méretű.
• Ez egy lineáris operátor mátrixa kanonikus alapon.
• A két hasonló mátrix Jordan formája egybeesik a sejtek sorrendjével.

A mátrix első ilyen formáját Jordan vette figyelembe.

Változatok és általánosságok

• A mező fölé a valós számok, sajátértékei a mátrix (azaz a karakterisztikus polinomja gyökerek) lehetnek valós vagy komplex, a komplex sajátértékek, ha jelen vannak párban, együtt komplex konjugált: $\backslash \; lambda\_\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; pm\; i\; \backslash \; béta$, ahol $\backslash \; alpha$ és $\backslash \; beta$ Valódi számok, $\backslash \; beta\; \backslash \; neq\; 0$. Valódi térben az ilyen komplex sajátértékek egy blokknak felelnek meg $amelyben\; Rj>$, és a fenti formájú jordán mátrixok, mátrixok, amelyek szintén blokkokat tartalmaznak $amelyben\; Rj>$, komplex sajátértékek párjainak felel meg: [1] [2]

$J\; \_>\; =\; \backslash \; balra\; (\backslash \; begin$

\ alpha \ beta 1 0 0 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ - \ béta \ alpha 0 1 0 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ 0 0 \ alpha \ beta 1 0 \ cdots 0 0 0 0 \\ 0 0 - \ beta \ alpha 0 1 \ ddots 0 0 0 0 \\ \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \ vdots \\ \ vdots \ vdots \ vdots \ vdots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ ddots \ vdots \ vdots \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots \ alpha \ beta 1 0 \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots - \ beta \ alpha 0 1 \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots 0 0 \ alpha \ beta \\ 0 0 0 0 0 0 \ cdots 0 0 - \ beta \ alpha \ \ end \ jobb).

• A Jordán normális formában egy tétel a tételes eszmények doménjére vonatkozó finom generált modulok szerkezetének tételéről szól. Valójában a mátrixok osztályozása megfelel a lineáris operátorok besorolásának. és vektorterek a mezőn $\backslash \; Bbb\; K$ egy rögzített lineáris operátorral bijektív módon felelnek meg a polinomok gyűrűjén lévő moduloknak $\backslash \; Bbb\; K\; [x]$ (a vektor szorzása: $x$ egy lineáris operátor alkalmazása).

• A Jordán rendes formán kívül számos egyéb normál mátrix formát is figyelembe kell venni (például a Frobenius normál formáját). Különösen akkor tekintik őket, ha a talajmező nem tartalmazza az adott mátrix jellemző polinomjának gyökereit.

jegyzetek

irodalom

Kapcsolódó cikkek

• Jordan mátrix

• A mátrixkondicionálás száma

• A mátrix igazgatója először elismerte, miért változtatta meg a padlót