Laboratóriumi munka №4 polinomok gyökerei, több tényező

Definíció 1. Ha az f (x) polinomium eltűnik, ha egy c számot helyettesítünk az ismeretlen helyett, akkor c az f (x) polinom gyökere (vagy az f (x) = 0 egyenlet).

Az 1-es szám az f (x) gyökere, és a 2-es szám nem f (x) gyökér, mivel f (1) = 1 5 + 2 # 8729, 1 3 -3 # 8729, 1 = 0 és f (2) = 2 5 + 2 # 8729; 2 3 -3 # 8729; 2 = 42 ≠ 0.

Kiderül, hogy a polinom gyökerei a megosztókhoz kapcsolódnak.

A c szám a f (x) polinom gyökere, ha és csak akkor, ha f (x) osztható x-c-vel.

Definíció 2. Ha c az f (x) polinom gyökere, akkor f (x) osztható x-c-vel. Aztán van olyan pozitív egész szám, hogy f (x) osztható (x-c) k-vel. de nem osztható (x-c) k + 1-vel. Ezt a számot az f (x) polinom gyökereinek sokaságaként nevezik, és maga a gyökér ennek a polinomnak a k-szeres gyökere. Ha k = 1, akkor a c gyökérnek elsődlegesnek kell lennie.

Az f (x) polinom gyökérének multiplicitását k a következő tételt alkalmazzuk:

Ha a szám többszöröse k-gyökér a polinom f (x), ha k> 1, akkor (k-1) szeres gyökere az első derivált a polinom; ha k = 1, akkor c nem szolgál gyökérként az f '(x) számára.

Következmény. A f (x) polinom k-szerű gyökere első alkalommal nem szolgál a root származékhoz tartozó gyökérként.

2. példa. Győződjön meg róla, hogy a 2-es szám a f (x) = x 4 -4x 3 + 16x-16 polinom gyökere. Határozza meg a sokféleségét.

A megoldás. A 2. szám a f (x) gyökere, mivel 2 4 -4 # 8729; 2 3 + 16 # 8729; 2-16 = 0.

f '(x) = 4x 3 -12x 2 + 16, f' (2) = 4 # 8729; 2 3 -12 # 8729; 2 2 + 16 = 0;

f '' (x) = 12x 2 -24x, f '' (2) = 12 # 8729; 2 2 -24 # 8729; 2 = 0;

f '' '(x) = 24x-24, f' '' (2) = 24 # 8729; 2-24 ≠ 0.

A 2-es szám nem először az f '' '(x) gyökere, ezért a 2-es szám az f (x) polinom háromszoros gyökere.

Adjuk meg az n≥1 fokú f (x) polinomot az 1. vezető együtthatóval: f (x) = x n + a1 x n -1 + ... + an-1 x + an és # 945; # 945; n - gyökerei. A polinom gyökereit és koefficienseit a következő képletekkel hozzák összefüggésbe: Vieta formulák:

A Vieta formulák megkönnyítik a polinom megfogalmazását a gyökerei alapján.

3. példa. Keress egy olyan polinomot, amelynek egyszerű gyökerei 2; 3 és a kettős gyökér -1.

A megoldás. Találjuk meg a polinom együtthatóit:

A kívánt polinom x 4 -3x 3 -3x 2 -7x + 6.

Definíció 3. Az f (x) polinom,ÌAz n fokú P [x] redukálható a P mező fölött, ha két tényezőből álló termékre bontható # 966; (x) és # 968; (x) a P [x] -től, amelynek a fokszáma kisebb, mint n:

f (x)ÎP [x] azt mondják, hogy a P mező fölött nem redukálható, ha P [x] egyik tényezője közül az egyiknek 0-as fokozata van, a másik pedig n fokú.

A következő tételek tartják:

Bármilyen nem zéró fokú polinom f (x) a P gyűrű [x] van szétbontva termék nem redukálható tényezők F [x] egyértelműen akár tényezők nulla fokos.

Ebből könnyen követhető minden f (x) polinom,ÎP [x], az n, n≥1, akkor a következő bomlás irreducibilis tényezőként létezik:

hol vannak olyan irreducibilis polinomok P [x] -nél, amelyek egyenlő együtthatóval. A polinom egy ilyen kiterjedése egyedülálló.

Az ilyen bomlásban szereplő irreducibilis szorzók nem feltétlenül különböznek egymástól. Ha irreducibilis polinom bekövetkezik pontosan k-szor az expanziós (2), ez az úgynevezett K-szeres faktorral a polinom f (x) .Ha a faktor P (x) szerepel ez a bővülés csak egyszer, ez az úgynevezett elsődleges tényező az F (x) .

Ha a bővítésben (2) ugyanazokat a tényezőket tesszük össze, akkor ez a bővítés a következő formában írható:

ahol a Pi (x), ..., Pr (x) faktorok mindegyike különböző. A k1, ..., kr exponensek megegyeznek a megfelelő faktorok sokféleségével. A terjeszkedés (3) a következő formában írható:

ahol F1 (x) az összes egyszerű irreducibilitási tényező eredménye, az összes kettõs irreducibilis tényezõ eredménye, és így tovább. a bővítésben (3). Ha nincsenek m-szeres tényezők a bővítésben (3), akkor a faktort egyenlőnek tekintjük az egységgel.

Polinomok F1 (x), ..., Fs (x) a polinom f (x) felett számmezők megtalálható fogalmát használva származékos, Euklidész algoritmus megfogalmazott korábbi tétel (a kapcsolat a-származék), az alábbiak szerint:

Így megtalálhatjuk a f (x) polinom fajtáit.

Ha az f (x) polinomnak meg kell találnia a (4) expanziójának F1 (x), ..., Fs (x) tényezőit, akkor azt mondjuk, hogy több tényezőt el kell különíteni.

4. példa Többszörös tényezőket különítünk el f (x) = x 5-x 4 -5x 3 + x 2 + 8x + 4-re.

A megoldás. Megtaláljuk a GCD-t f (x) és f '(x) = 5x 4 -4x 3 -15x 2 + 2x + 8.