Know-how, előadás, m-redukálhatóság és számtalan készlet tulajdonságai
m-teljesség és a hatékony nem-listázhatóság
Az algoritmusok elmélete lehetővé teszi, ahogyan azt mondják, "különböző konstrukciók" meghatározása. Példaként vessünk egy meghatározó végtelen sorozatot. Mi egy végtelen halmaz. Ez egy olyan készlet, amely legalább n elemet tartalmaz minden természetes n számhoz. Most ezt mondhatjuk: egy készletet "hatékonyan végtelennek" neveznek, ha létezik egy algoritmus. amely bármelyik n esetében n különböző elemeket jelöl.
48. Mutassuk meg, hogy egy tetszőleges A készlet valójában végtelen ha és csak akkor, ha egy végtelen felsorolható készletet tartalmaz (e végtelen, de nem immunis).
Most érdekli a nem-listázhatóság fogalmának hatékony változata. Mit jelent az A készlet nem számszerűsíthető? Ez azt jelenti, hogy az A különbözik a felsoroltak közül. Természetes, hogy az A-készlet hatékonyan nem számozható, ha van olyan hely, amely bármely felsorolt halmazra vonatkozhat. ahol eltér az A-tól.
Még formálisabban rögzítünk néhány fő univerzális, enumerálható W készletet (és ennélfogva sorszámozható halmazok felsorolását: az n számot a Wn-nak nevezzük). Azt mondjuk, hogy az A készlet ténylegesen nem számít. ha létezik mindenhol meghatározott számítható függvény f. hogy Wz minden z. (Itt van a szimmetrikus különbség, azaz f (z) az a pont, ahol A különbözik a Wz-ből.)
Ne feledje, hogy ez a tulajdonság nem függ a fő univerzális készlet választásától. mivel az ilyen halmazhoz viszonyított számokból ténylegesen áthaladhatnak a másikhoz képest.
A hatékony nem-listázhatóság tulajdonsága egyszerű felismerést enged az m-redukálhatóság szempontjából. Kezdjük ezzel az egyszerű megfigyeléssel.
Tétel 34. Ha A <=m B и A эффективно неперечислимо, то и B эффективно неперечислимо.
Ez a tétel a 31. tétel (b) része "hatékony változata". Ugyanez mondható el a bizonyítékról. Szeretnénk megtalálni egy olyan pontot, amelyen B különbözõ számozott X-halmaztól különbözik. Tekintsük az f függvényt. amelyekben m -uniformly redukálható B. előképe f -1 (X) felsorolásosztályok X az kiértékelhető leképezési lista, ezért lehetséges, hogy megtalálják az M pont. amelyben különbözik az A-tól. Akkor B különbözik az X-től az f (m) pontban.
Ahhoz, hogy ez az érv pontos, csak fel kell bizonyítania, hogy a számos enumerable set f-1 (X) hatékonyan lehet elő számos felsorolása X. Ehhez ki kell használnunk azt a tényt, hogy a számozás a fő áramkör ebben az esetben ugyanaz, mint az a számok által adott két számítható függvény összetételének számítása (16. tétel). Ezt a vitát részletesebben végezzük.
Tekintsünk egy sorszámú készletet
(ez listázható, mivel egy számozott W készlet előfutája számítható leképezés alatt). Látható, hogy Vn = f -1 (Wn). Mivel a W készlet fő univerzális készlet. akkor létezik egy kiszámítható mindenütt meghatározott függvény. amelyre Ws (n) = Vn = f -1 (Wn) minden n esetében. Más szóval, az s függvény bármely számozott készlet W-számához képest W-nek adja meg inverz képének számát a f. szükség szerint.
Tétel 35. Számos sorozatok vannak, amelyek nem listázható kiegészítõkkel rendelkeznek.
Újra megfontoljuk az átlós készletet. Hozzáadása ténylegesen nem számolható. Valójában a Wn és D halmazok azonosak az n ponton. ezért a Wn ebben a pontban különbözik a D-től. Így a D komplementuma ténylegesen nem listázható, és az "identitásfüggvény" f függvényt a hatékony nem törölhetőség definíciójává tehetjük.
A két korábbi tételből következik:
A 36. tétel. Minden m-teljes felsorolható készletnek van egy hatékonyan nem listázható kiegészítője.
Valójában a fordított is igaz. Ehhez a következő tényeket igazoljuk:
Tétel 37. Legyen K egy rekurzívan felsorolható készlet, és A ténylegesen nem listázható. Aztán N \ K <=m A (или, что эквивалентно, K <=m N \ A ).
Valójában fontos, hogy meg tudjuk különböztetni az A-t hatékonyan mindössze két felsorolt halmaztól az üres és az egész természeti sorozatból. Az A-tól az üres készlettől való megkülönböztetéshez az A-ben lévő elem megadását jelenti; hogy megkülönböztesse az egész természeti sorozat eszközt az A-n kívüli elem feltüntetésére. Ez a két dolog a redukcióban használatos. Formálisabban tekintse meg a V = K x N. szekciót. Vn szakaszai üresek (vagy), vagy egybeesnek a teljes természetes sorozattal (for). Az a tény, hogy a W készlet főkötője, megtalálunk mindenhol meghatározott függvényt. amelyhez és Ws (n) = N számára. Legyen f egy függvény. amely biztosítja az A készlet tényleges nem tördelhetőségét. Más szavakkal, az f és s függvények összetétele csökkenti az N \ K-ot az A. halmazhoz.
Ez nyilvánvalóan az alábbi állításokat foglalja magában:
A 38. Tétel. Számos sorozata m-teljes, ha és csak akkor, ha komplementje ténylegesen nem listázható.
A 39. tétel. A készlet hatékonyan nem listázható, ha és csak akkor, ha az egyes (variáns: bármely) m-complete készlet kiegészítése.
Ne feledje, hogy nem minden nem számolható készlet hatékonyan nem listázható. Ezt például láthatjuk:
A 40. tétel. Minden ténylegesen nem számláló készlet tartalmaz egy végtelen felsorolható részhalmazot (e nem immunis).
Tény, hogy az A ténylegesen ne legyen listázható. Ezután megkülönböztetjük egy üres sorozattól, vagyis egy elemet találunk benne. Ezt követően megkülönböztetjük egy singleton készlettől. amely ezen elemből áll, és talál egy másik elemet. Így eljárva, algoritmikusan találunk önkényesen sok különböző elemet.
Ebben a vitában, akkor használja a következő tény: egy véges halmaz, adott egy listát eleme, akkor kap a számát (pontosabban az egyik szoba) a fő számozás felsorolható készletek. Miért van így? Adjuk meg a véges készletek számszerű számozásának rögzítését. Az N-edik végpontot a számozáshoz Dn jelöli. Ezután a Dn egy számszerű (és még megoldható) halmaz n-edik szakasza
Továbbra is használják a felsorolható készletek fő számozásának meghatározását.
Egyszerű készletek. amely, mint tudjuk, létezik (14. tétel), olyan számtalan készlet példái, amelyek nem teljesek. Így született meg az elsődleges készlet fogalma. A böjtölés egy számtalan, feloldhatatlan szettet keresett. ami nem lenne m-teljes.