A közös megoldás fogalma a stadopedia
Ha egy elsőrendű egyenlet esetében a teljes megoldás egy tetszőleges konstansot tartalmaz, akkor egy n-sorrendű egyenlet esetén az általános megoldás n tetszőleges állandóktól függ :.
Definíció. A függvény az (1) egyenlet általános megoldásának nevezzük, ha két feltétel teljesül:
1) ez a függvény megfelel az (1) egyenletnek a konstansok bármely értékére;
2) Az adott kezdeti körülményekhez a konstansokat úgy lehet megválasztani, hogy ezek a kezdeti feltételek teljesüljenek.
Az egyenlet egy adott megoldásának fogalma
Definíció. Az (1) egyenlet egyik konkrét oldata bármelyik olyan oldat, amelyet az általános megoldásból nyerünk a konstansok specifikus értékeihez.
Az n-edik rend legegyszerűbb egyenlete az egyenlet:.
Általános megoldását az egyenlet mindkét oldalán n-szeres szekvenciális integráció határozza meg.
7. Az egyenletek csökkenő sorrendet tesznek lehetővé
A magasabb rendű differenciálegyenletek integrálásának egyik fő módszere az egyenletrend redukciójának módja.
Vegyük például a második sor egyenletét: (1)
I. eset. Tegyük fel, hogy az (1) egyenlet bal oldali oldala nem tartalmaz kifejezetten a kívánt funkciót; nem tartalmaz yt, és a következő formában van: (2)
Ebben az esetben a megrendelés csökkentése helyettesítés történik:
A helyettesítés és a (2) sorrend csökken.
II. Eset. Tegyük fel, hogy az (1) egyenlet bal oldalán nincs kifejezetten független x változó. azaz (3)
Ezután csökkenés következik be helyettesítéssel.
Az egyenlőség x-re történő differenciálódását egy összetett függvény szabályával végezzük, azaz. , de következésképpen, akkor.
III. Eset. Intermediális integrál.
Kiderülhet, hogy az (1) egyenlet bal oldali oldala a teljes származék egy bizonyos kifejezés x-je vonatkozásában, azaz.
. Ezután az egyenlet a következő alakú:
Az egyenlet mindkét oldalát integrálva találunk egy közbenső integrálist, az egyenlet sorrendjével egyenként csökken.
A megoldás. A bal oldali oldalt külön írjuk ki:
ez egy köztes integráns;
8. Magasrendű lineáris differenciálegyenletek
Definíció. A differenciál egyenlet lineárisnak mondható. Ha ez az első fokozat az ismeretlen funkciót és származékait illeti.
Definíció. Az n-edik sorrendű lineáris inhomogén differenciálegyenlet az alakzat egyenlete:
ahol az együtthatóknak nevezett függvényeket és az egyenlet jobb oldalának nevezett függvényt meghatározott időközönként definiálják.
Ha pedig az egész egyenletet elosztjuk, megkapjuk: (1)
Ha, akkor kapjuk az egyenletet: (2), amelyet lineáris homogén egyenletnek nevezünk, amely megfelel ennek az inhomogén egyenletnek (1).
Például egy egyenletet adunk meg. Homogén lesz :.
9. Lineáris homogén egyenlet megoldásainak tulajdonságai