Komplex logaritmus
A függvény fogalma, az inverz exponenciális függvény, mint az igazi tartományban, egy szám logaritmusának koncepciójához kapcsolódik.
Egy komplex szám logaritmusa olyan szám, amelyen az egyenlőség tart; jelölve van. Így.
A szám logaritmusának megkeresése. azaz hogy megtalálja a számok valós és képzeletbeli részét. A számot exponenciális formában írjuk, és a számot algebrai formában keresjük :.
Ezután az esélyegyenlőség, vagy az exponenciális formában írott számok egyenlősége, és ettől azt találjuk. azaz. A szükséges számhoz a következő kifejezést kapjuk:
Ebből következik, hogy egy komplex szám logaritmusát kétértelműen határozzák meg; A kapott kifejezés meghatározza a megadott szám logaritmus értékeinek halmazát; jelölik
Minden rögzített értékhez kapunk egy bizonyos számot - a szám logaritmusának értékét; ha ezt a logaritmus fő értékének nevezik:
Példa 1. Keresse meg - az alábbi számok fő értékeit:
A megoldás. a). . . Ezután a (6.2) képlet segítségével. hanem a (6.1) képlet segítségével. .
b). . . Ezután a (6.2) képlet segítségével. hanem a (6.1) képlet segítségével. .
2. példa. Keresse meg a modult, az argumentumot, a szám valós és képzeletbeli részeit.
A megoldás. Találjuk meg a modulot és a szám argumentumát. . .
A (6.2) képlet segítségével kapjuk meg. Ezért. . .
Mivel és. akkor a számnak megfelelő pont az első negyedévben található, és ennek következtében.
Megjegyzések 1. A szám logaritmusának koncepciójának bevezetése lehetővé teszi egy összetett tartományban egy komplex exponens és egy komplex bázissal való exponenciális függvény meghatározását.
És a. ahol természetes szám, fok és a fentiek szerint; és a. ahol egy egész szám. A k definíciója is nyilvánvaló.
Általában minden bonyolult fokozatot a
Hasonlóképpen egy komplex bázissal is funkcionálunk
A logaritmus végtelen értékének köszönhetően minden számhoz tartozik egy végtelen számú érték. amelyet a (6.3) képlet határoz meg, és a 6.4. Ezek közül a készletek között megkülönböztethetők a fő értékek, amelyek megfelelnek a logaritmusok fő értékeinek.
3. példa Mutassuk meg, hogy a kifejezés csak valós értékeket vesz fel.
A megoldás. A (6.4) képletet használjuk. Találjuk meg az értéket.
,. Ezért valódi szám bármelyik számára.
4. példa: Keresse meg. hol van az egyenlet gyökere. kielégítve az állapotot.
A megoldás. Az egyenlet gyökerei számok, a feltétel kielégíti. A talált gyökért. . akkor. Ezért a válasz.
Megjegyzések 2. A komplex szám logaritmusának koncepciójának bevezetése lehetővé teszi az exponenciális egyenletek komplex doménben való megoldását. A legegyszerűbb ilyen egyenlet a forma egyenlete. Ennek az egyenletnek a megoldása csökken a kifejezés értékének megtalálásához. azaz.
5. példa. Oldja meg az egyenletet.
A megoldás .. kapunk. hol.
6. példa. Keresse meg az egyenletből.
A megoldás. A képletet használjuk. akkor van az egyenlet. amely egy kvadratikus egyenletre csökken. A négyzetes egyenlet gyökerei és. Aztán u
Geometrikusan ezek a pontok a vonalakon fekszenek és párhuzamosak a képzeletbeli tengellyel, amelynek távolsága egyenlő.
Amint látjuk, a logaritmikus függvény függvényként fordítva az exponenciális függvényre, vagyis az exponenciális függvényre. mint az egyenlet megoldása. a függvény bármelyik értékeit a (6.1) képlet határozza meg.
A funkció nyilvánvalóan többértékű, és a síkokat rajzolja az egyes sávokhoz:
A sugár mentén levágott síkban kiválaszthatók egyetlen értékes ágak, amelyek mindegyike egyedülálló módon rajzolja ezt a síkot az egyik zenekarra. különösen a funkció - a logaritmikus függvény fő értéke leképezi a síkot a szalagra (lásd a 6.1. ábrát).