Galilei geometria és kettős szám - absztrakt, 2. oldal
A az átalakulás mátrixa.
Az A mátrix meghatározója nem függ a keret kiválasztásától.
Ezt a meghatározónak nevezzük az affin transzformáció meghatározójaként, és jelöljük azt a szimbólum vagy.
Az affin transzformáció meghatározójának geometriai jelentését a következő állítás tisztázza:
Tétel 1. Legyen X - tetszőleges lapos alakú, és hagyja, X „,, -figura ebből eredő affin transzformáció F. Ezután a terület az ábrán X” megegyezik a négyzet alakú X szorozva az abszolút értéke a meghatározója az átalakulás F:
Következtetés: Az a és b semiaxes (pontosabban az ezen ellipszis által határolt régió) területének s területét az alábbi képlet adja meg:
Bizonyítás. Az a sugár körének területe egyenlő, amint az jól ismert. Az a és b semiaxekkel ellátott ellipszist ebből a körből nyerjük, ha a síkot az egyik átmérőhöz szorítjuk egy koefficienssel. ezért
2. §. Equi-affinitás rendszer
Definíció 1. Az affin transzformációt Φ az equiaffine-nek nevezzük, ha.
Az 1. javaslat szerint,
az affin transzformáció egyenlőtlen, ha és csak akkor, ha megőrzi a területeket, vagyis ha bármelyik síkbeli X mező területe megegyezik az átformált X 'területével.
Az egyenértékű transzformációk magukban foglalják az összes ortogonális transzformációt. Azonban vannak olyan nem ortogonális equiaffin transzformációk is.
az összes equiaffin transzformáció csoportja egy csoport.
A geometriát ebben a csoportban equiaffin geometriának nevezzük, és a megfelelő síkokat equiaffine síkoknak nevezzük. Az affin geometriától eltérően a terület fogalma értelmezhető az equiaffin geometriában. Természetes terület, ahol célszerű a területek elméletének kialakítása.
Két affinális koordináta-rendszer kerettel és; akkor és csak akkor határozzák meg ugyanazt az equiaffin síkot, ha az u utalak vagy egybeesnek vagy eltérnek a jelben, vagyis amikor a vektorokon és a vektorokon felépített parallelogrammok. ugyanaz a terület. Ez azt mutatja, hogy az equiaffin sík nem más, mint egy affin sík, amelyen a terület nagyságát hozzárendelik (egy régiót, amelynek a területe egy egységnek tekintendő).
Természetesen, itt, amikor különböző területek szabványait választjuk, ugyanabból az affin síkból kapunk különböző equiaffine síkot.
A területekre vonatkozó equiaffin geometriai állítások megfogalmazásakor ügyelni kell. Például, a fenti vizsgálat bebizonyította területe ellipszis, megfogalmazott, nem tartozik equiaffine geometriát, mivel úgy tűnik, hosszai ellipszis a és b. ami azt jelenti, hogy az equiaffin geometria nem rendelkezik. Ahhoz, hogy a „Equiaffine” szövege a vizsgálat, elegendő azonban, hogy vegye figyelembe, hogy a tétel a Apollonius területe a paralelogramma épített egy tetszőleges pár konjugátum ellipszis sugarak egyenlő ab. Ezért azt mondhatjuk
az ellipszis területének aránya a párhuzamosogramnak a konjugált sugár párján.
Ez az összetétel az equiaffin geometriában már teljesen meg van értve.
1. megjegyzés. Nyilvánvaló Apollonius tétel következik lehetőségét képviselő tetszőleges kép, mint egy ellipszis egy körbe egy affin transzformáció, mint abban az esetben a kerületnek ez triviális (egy négyzetes terület, épített egy pár egymásra merőleges kör sugara egyenlő a tér a kör sugara).
Megjegyzés2. Az ellipszis területére vonatkozó kijelentés a következőképpen is megfogalmazható:
az ellipszis területeinek aránya és a párhuzamogramja, amelyet konjugált sugár egy párjára építenek.
Ügyeljen arra, hogy a finom, de szignifikáns különbség a két utolsó sor: míg az első készítmény, beszélünk a hozzáállása a térség egyik formája (ellipszis) a terület más alakú (paralelogramma), a második kérdés megfogalmazása szól a kapcsolat a következő területeken: a számok. Mivel a javaslat szerint a 1 minden affin transzformáció a terület minden adat meg kell szorozni az azonos számú független a szám, bármely két X és Y formálja aránya körükbe affin invariáns. Más szavakkal, bár az affin geometria és nem lehet azt mondani a terület egyetlen szám, de a koncepció a terület aránya a két figura teszi a teljes értelme (ahogy van értelme, hogy a koncepció a kapcsolat hosszát a két párhuzamos vonal). Így a második a fenti készítmények van értelme az affin geometria, míg az első - csak equiaffine.
Természetesen lehetséges az equiaffin geometria változata is, amelyben az orientáció megőrzését szolgáló equiaffin transzformációk csoportja alapvető csoportnak tekinthető. Ebben a geometriában az orientált terület fogalma értelmes.
3. §. Affin transzformációk és tulajdonságaik.
OPREDELENIE.Preobrazovanie affin síkon vagy affin tér nazyvaetsyaaffinnym ha bármely három kollineáris pont szüksége van három kollineáris pont ( „megtartja kollinearitást ratio”).
MEGJEGYZÉS: 1. Azt mondjuk, hogy egy vonal egy olyan vonalnak felel meg, amely az affin transzformációban Φ.
Tulajdonság 1. Az affin transzformáció Φ minden vonalat ráír a megfelelő sorra.
Tulajdonság 2. Az átalakítás Φ párhuzamos vonalakat párhuzamos sorokká alakít át.
Tulajdonság 3. Az affin transzformáció Φ minden félvonalat felrajzol a megfelelő félvonalra.
Tulajdonság 4. Az affin transzformáció Φ minden egyes szegmenst leképez a megfelelő szegmensre.
Tulajdonság 5. Az átalakítás Φ a párhuzamos szegmenseket párhuzamos szegmensekké alakítja át.
Az affin transzformációk következő tulajdonságának megfogalmazásához két különböző M1, M2 pontot és egy egyenes vonalat veszünk át. Legyen k olyan összefüggés, amelyben az egyenes egy M pontja osztja az irányított szegmenst. Az arbitrális affin transzformációhoz Φ a M1, M2 collineáris pontokat. M költözik hézagos pontokra, ezért meghatározza az arányt, amelyben a pont osztja a szegmenst.
Tulajdon 6. Van egyenlőség
vagyis az affin transzformáció megőrzi az összefüggést, amelyben az adott pont elosztja az adott intervallumot.
Mivel egy szegmens belső pontjait egy feltétel jellemzi, ez a tulajdonság magában foglalja
Következmény. A transzformáció Φ a szegmens minden belső pontját a szegmens belső pontjává alakítja át.
4.§. Hasonlóság az affin transzformáció különleges eseteként
Opredelenie2. Az affin transzformációt Φ a hasonlóságú transzformációnak nevezik, ha megőrzi a vonalak közötti szögeket, vagyis ha bármelyik két (egymást keresztező) vonalat vonalakká alakítja és azonos szöget alkot.
minden hasonlóság átalakulás egy csoportot alkot.
A megfelelő geometriát a hasonlóság geometriájának nevezik. Azok a számok, amelyek egyenlőek ebben a geometriában, vagyis azok a számok, amelyeket egy hasonlóság-transzformációval alakítanak át egymásnak, hasonlónak nevezik.
Megmutatjuk, hogy ez a fogalom a hasonlóság egybeesik a megszokott, jól ismert az elemi természetesen t. E. Ez a két szám akkor és csak akkor van, mint amikor mozognak, miután a megfelelő homothetic. Erre a célra, nyilvánvalóan, ez elég ahhoz, hogy azt mutatják, hogy bármilyen hasonlóság transzformáció a készítmény egyes ortogonális transzformáció (mozgás vagy mozgása plusz szimmetria) és egy homothety, m. F. Conversion kifejezve megfelelően kiválasztott rendszer Derékszögű koordináták x, y képletek formájában
ahol h a homotétium együtthatója.
Ehhez elegendő bizonyítani, hogy az alak átalakítása
akkor és csak akkor tartja meg a vonalak közötti szögeket, amikor akkor, amikor homotéziás.
De ez világos. Valójában az átalakulás magához veszi az abszcissza tengelyt, és a vonalat az egyenlet segítségével
- egy egyenes vonal egyenlet
Ezért az abszcissza tengely és az egyenes közötti szög megmarad az átalakulásban, ha és csak akkor, ha. amikor
A hasonlóság geometriájából az euklideszi geometriához való elmozdulás elegendő ahhoz, hogy egy hosszúság szabványt válasszon.
II. Fejezet. Galileo geometria és kettős számok