A mátrix lineáris algebraja
Alapfogalmak.
Meghatározás: egy mxn méretű mátrix, ahol m a sorok száma, n az oszlopok száma, egy számtáblázat egy bizonyos sorrendben. Ezeket a számokat mátrix elemeknek nevezzük. Az egyes elemek helyét egyedileg határozza meg annak a sornak és oszlopnak a száma, amelynek metszéspontjában található. A mátrix elemeit aij jelöli. ahol i a sor száma, és j az oszlop száma.
Alapvető műveletek a mátrixokon.
A mátrix egy sorból vagy egy oszlopból állhat. Általánosságban elmondható, hogy egy mátrix egy elemből állhat.
Definíció. Ha a mátrix oszlopainak száma megegyezik a sorok számával (m = n), akkor a mátrixot négyzetnek nevezzük.
az úgynevezett identitási mátrix.
Egy példa. - szimmetrikus mátrix
Definíció. Egy forma négyzetes mátrixát átlós mátrixnak nevezik.
A mátrixok hozzáadásával és kivonásával az elemek megfelelő mûveleteire csökken. Ezeknek a műveleteknek a legfontosabb tulajdonsága, hogy csak azonos méretű mátrixokra vannak definiálva. Így lehetséges meghatározni a mátrixok hozzáadásának és kivonásának műveleteit:
Definíció A mátrixok összege (különbsége) egy mátrix, amelynek elemei az eredeti mátrixelemek összegének (különbsége).
A tetszőleges számú tetszőleges méretű mátrix megszorzása (osztása) csökkenti a mátrix minden egyes elemének szorzását (osztását) ezzel a számmal.
a (A + B) = aA ± aB
A (a ± b) = aA ± bA
Egy példa. Adott mátrixok A =; B =. találja meg a 2A + B.
2A =, 2A + B =.
A mátrix sokszorosítása.
Meghatározás: A mátrixok terméke egy mátrix, amelynek elemei a következő képletekkel számíthatók:
A * B = C;
.
A fenti definícióból következik, hogy a mátrixszorzási művelet csak mátrixokra van meghatározva, az első oszlopok száma pedig a második sorok számával.
A mátrix sokszorosításának tulajdonságai.
1) A mátrixok szorzása nem kommutatív. azaz AB nem egyenlő a BA-val akkor sem, ha mindkét termék definiálva van. Azonban, ha bármilyen mátrix esetében az AB = BA reláció teljesül, akkor az ilyen mátrixokat kommutatívnak nevezzük.
A legjellemzőbb példa az egységmátrix, amely azonos méretű bármely más mátrixra átjárható.
A kommutatív mátrix csak négyzetes alakú mátrix lehet.
Nyilvánvaló, hogy minden mátrix esetében a következő tulajdonságok érvényesek:
A * O = O; O * A = O,
ahol G a nulla mátrix.
2) A mátrixszaporítás működése asszociatív, azaz. ha az AB és az AB AB termékek definiáltak, akkor BC és A (BC) definiáltak, és a következő egyenlőség áll:
(AB) C = A (BC).
3) A mátrixszaporítás működése disztributív a hozzáadás szempontjából; ha az A (B + C) és (A + B) C kifejezés értelmezhető, akkor:
4) Ha az AB termék definiálva van, akkor minden a számra a következő összefüggés tartható:
a (AB) = (aA) B = A (aB).
5) Ha az AB termék meg van határozva. akkor a B T A T termék meg van határozva, és a következő egyenlőség tartja fenn:
(AB) T = B T A T ahol
az alsó index T jelöli az átültetett mátrixot.
6) Megjegyezzük továbbá, hogy minden térbeli mátrix esetében det (AB) = detA * detB.
A det (determináns, determináns) fogalma az alábbiakban lesz megvizsgálva.
Definíció. A B mátrixot az A transzpozíciós mátrixnak nevezzük, és az A-ból B-re történő átmenet az átültetés. Ha az A mátrix minden egyes sorának elemei azonos sorrendben vannak írva a B. mátrix oszlopaiban.
A =; B = A T =;
Az előző tulajdonság (5) következtében ezt írhatjuk:
(ABC) T = C T B T A T.
feltéve, hogy az ABC mátrixok terméke definiálva van.
Egy példa. Adott mátrixok A =, B =, C = és a szám a = 2. Keress A T B + a C.
A T =; A T B = * = =;
aC =; A T B + a C = + =.
Egy példa. Keresse meg az A = és B = mátrixok termékeit.
AB = * =.
BA = * = 2 * 1 + 4 * 4 + 1 * 3 = 2 + 16 + 3 = 21.
Egy példa. Keresse meg az A = B = mátrixok termékeit
AB = * = =.
Vissza a tartalomjegyzékhez: Magasabb matematika