A gyökér alközponthoz tartozik
A piros szín egy sajátvektorra utal. Ő, a kéktől eltérően, nem változtatta meg az irányt és a hosszúságot deformáció alatt, ezért sajátvektor. amely megfelel a sajátértéknek λ = 1. A vörös vektorral párhuzamos vektor is megfelelő lesz, ugyanazt a sajátértéket. Az összes ilyen vektor halmaza (a nulla értékkel együtt) megfelelő alaptáblát képez.
Egy lineáris operátor sajátértékének, sajátvektorának és gyökvektorának meghatározása
L legyen egy lineáris tér egy K mező fölé. Lineáris transzformáció.
Az A lineáris transzformáció sajátvektora egy nem nulla vektor, így néhány
Egy lineáris A transzformáció sajátértéke egy olyan szám, amelyhez létezik egy sajátvektor, vagyis az Ax = λx egyenletnek nemzero oldata van.
Egy adott A sajátértékhez tartozó A lineáris transzformáció megfelelő alperepe egy adott sajátértéknek megfelelő komplementer sajátvektorok halmaza (kiegészítve nulla vektorral). Ezt az Eλ jelöli. Definíció szerint,
ahol E az identitáskezelő.
Egy lineáris A transzformáció gyökvektorja egy adott sajátértékhez egy nem nulla vektor, így néhány természetes számnál m
Ha m az ilyen természetes számok közül a legkisebb (azaz), akkor m az x gyökérvektor magassága.
Egy adott A sajátértékhez tartozó A lineáris transzformáció gyökér al-térrésze egy adott sajátértéknek (kiegészítve nulla-vektorral) kiegészített összes gyökvektor. Ezt Vλ jelöli. Definíció szerint,
Sajátértékek, sajátvektorok és gyökérvektorok és terek tulajdonságai
Általános eset
Egy alrendszert egy lineáris A transzformáció (A-invariáns szubtér) invariáns szubtéjának nevezünk
.- Az eigensubspaces Eλ. A Vλ gyökér alatti részek és az A lineáris operátor Vm, λ alszekvei A-invariánsok.
- A sajátvektorok a gyökér (magasság 1) :;
- A gyökérvektorok nem megfelelőek: például egy mátrix által meghatározott kétdimenziós tér átalakítására
- A különböző sajátértékekhez a gyökér (és ennek következtében a megfelelő) aljzatai triviális (nulla) metszésponttal rendelkeznek:
Véges-dimenziós lineáris terek
Az L. n-dimenziós lineáris térben lévő alapot választva egy négyzetes mátrixot egy lineáris transzformációval társíthatunk, és meghatározhatunk egy olyan jellegzetes polinomot
.- A karakterisztikus polinom nem L alapú. Az együtthatók az A operátor invariánsai. Különösen nem függenek az alapválasztástól.
- A sajátértékek, és csak ezek a mátrix jellemző polinomjának gyökerei.
- A különböző sajátértékek száma nem haladhatja meg a mátrix méretét.
Hagyja, hogy a számmező algebrailag le legyen zárva (például a komplex számok mezője). Ezután a karakterisztikus polinom bomlik az n lineáris faktorok termékeibe
hol vannak sajátértékek; néhány λi egyenlő lehet. A multiplicitás λi - a szám a tényező egyenlő λ - λi a bővítési karakterisztikus polinomja a lineáris faktorok (más néven algebrai multiplicitása a sajátérték).- A gyökérterület dimenziója megegyezik a sajátérték sokféleségével.
- Az L vektortér a gyökér alatti területek közvetlen összegeként bomlik (a Jordan-alakzat tétele szerint):
- A λi sajátérték geometriai sokfélesége a megfelelő megfelelő szubtér dimenziója; A sajátérték geometriai sokfélesége nem haladja meg a sokféleségét, mivel
Hilbert terek a komplex számok és a normál operátorok területén
A skaláris termék jelenléte lehetővé teszi számunkra azon fontos szereplők azonosítását, akiknek sajátértékük és sajátvektoruk számos hasznos tulajdonsággal bír.
A normál üzemeltető A. üzemeltető A. ingázással az A * konjugátumával:
Különös osztályok normális operátorok önadjungált (hermitikus) az üzemeltetők (A = A *), az anti-hermitikus operátorok (A = - A *), és egységes operátorok (A - 1 = A *), valamint a valós lehetőségek: szimmetrikus operátorok antiszimmetrikus üzemeltetők és ortogonális transzformációk.
- A normál operátor minden gyökérvektorja megfelelő.
- A normál operátor A sajátvektorai különböző sajátértékeknek felelnek meg, ortogonálisak. Azaz, ha Ax = λx. Ay = μy, majd (x, y) = 0. (Ez nem igaz egy tetszőleges operátorra.)
- Valamennyi önműködő operátor sajátossága valós.
- Az anti-Hermitian operátor összes sajátossága képzeletbeli.
- Az egységes operátor összes sajátértékét az egységkörön kell elhelyezni λ | = 1.
- A véges dimenziós esetben. az összes sajátértékhez tartozó normál operátor eigensubspaces dimenzióinak összege megegyezik a mátrix dimenziójával, és a vektortér az eigensubspaces ortogonális összegére bomlik:
- A normál üzemeltető utolsó tulajdonsága jellemző: az operátor normális akkor, ha csak a mátrixának van egy átlós formája bizonyos ortonormális alapon (a véges dimenziós esetben).
Pozitív mátrixok
A kvadratikus valós mátrix A = (aij) pozitívnak mondható, ha minden eleme pozitív: aij> 0.
Perron tétele (a Perron-Frobenius tétel speciális esete): Az A pozitív négyzetmátrix pozitív sajátértékkel rendelkezik. amely algebrai sokaság 1, és szigorúan meghaladja a mátrix bármely más sajátértékének abszolút értékét. A sajátvektor er megfelel a sajátértéknek. amelynek összes koordinátája szigorúan pozitív. A vektor az egyedülálló A sajátvektor (a számmal való szorzásig), amely nem negatív koordinátákat tartalmaz.
A sajátvektor er kiszámítható közvetlen iterációval. egy tetszőleges v0 kezdeti vektort választunk pozitív koordinátákkal. Tegyük fel:
A vk szekvencia konvergál a normalizált sajátvektorhoz.
A közvetlen iteráció módszerének másik alkalmazási területe a pozitív, határozott szimmetrikus operátorok sajátvektorainak keresése.
irodalom
- Gantmakher FR A mátrixok elmélete. - M. Nauka, 1966. - 576 p.
- Wilkinson D. Kh. Algebrai sajátérték-probléma. - M. Nauka, 1970. - 564 p.