Vektoralgebra alapfogalmai
Amikor hozzáadják a vektorokat, hozzáadják a koordinátáikat, és a vektorot a koordináták számával megszorozzák. Ezek a kijelentések a formában vannak
Ezután megállapítjuk, hogy a vektor koordinátái hogyan kapcsolódnak a végeinek koordinátáihoz.
Hagyja, hogy a vektor elejével a pontnak koordinátái vannak, és a vektor vége egy pont. Ezután a vektor koordinátái a végeinek koordinátáihoz kapcsolódnak a következő összefüggésekkel
Hagyja és hagyja, hogy a vektor vektor-vetülete a tengelyen együtt legyen a tengellyel (lásd 2. ábra). majd
mivel a szegmens hossza a numerikus tengelyen megegyezik a jobb oldali koordináta mínusz a bal végének koordinátájával. Ha a vektor
a tengellyel ellentétes irányban (mint a 23. ábrán)
Ha, akkor ebben az esetben és akkor kapunk
Így a vektor bármely koordinátázó tengelyre történő elrendezésében a koordinátája
Hasonlóképpen ezt is bizonyítjuk
A vektor végeinek koordinátái a következők: Keresse meg a vektor koordinátáit.
A következő tétel a vektor koordinátákon keresztüli kifejezésének kifejezését adja.
Legyen u a vektor vektor-vetületje a tengelyen, illetve. Aztán, amint azt a 9. Tétel bizonyítéka mutatja, van
Ezenkívül a vektorok és kölcsönösen merőlegesek. Ha ezeket a vektorokat a háromszög szabály szerint adjuk hozzá, jobbszögű háromszöget kapunk (lásd 24. ábra).
A pitagorai tétel szerint van
7) Vektorok és egymással merőlegesek, ha és csak akkor, ha
Az 1, 2, 3, 5 tulajdonságok közvetlenül egy skaláris termék definíciójából következnek. A 4. tulajdonság a 10. tételből a vektorok összegének vetületeiből következik. Tény, hogy
Továbbá a 4-es és 5-ös tulajdonságokból 6 tulajdonságot kapunk
Az utolsó egyenletek figyelembe veszik ezt
Vegye figyelembe a tulajdonságot 7. Ha az u vektorok egymásra merõlegesek, akkor
hol van a vektorok és a nem-nulla vektorok közötti szög. Ezért a vektorok és egymásra merõlegesek. Így, ha nem zérus vektorok u kölcsönösen merőlegesek, szükséges és elegendő, hogy az egyenlőség teljesüljön.
A skaláris termék definíciójából következik, hogy ha nincs is nulla vektor, akkor
A vektorok koordinátáit megismerve megtalálható a skaláris termék és a vektorok hossza. Így, a vektorok koordinátáit ismerve, megtalálhatjuk a szög koszinusát a vektorok között, és a koszinusz ismeretében megtalálhatjuk a szöget.
Keresse meg a szögeket a vektorok között.