Kutatás a gyökérvesztés és az idegen gyökerek kérdésében az egyenletek megoldásában,
Aláírások a diákhoz:
A gyökerek és az idegen gyökerek elvesztése az egyenletek megoldásában
MOU "SOSH №2 mélyreható tanulmány az egyéni tantárgyak" a város Vsevolozhsk. A kutatómunkát egy 11. osztályos hallgató készítette el: Vasiliev Vaszilij. Projektvezető: Egorova Lyudmila Alekseevna.
Egyenlet Kezdjük, fontoljuk meg különböző módon megoldani ezt a egyenletet: sinx + cosx = - 1
1. megoldás sinx + cosx = -1 és y x 0 1 sin (x +) = - 1 sin (x +) = - x + = - + 2 x + = +2 + x = - + 2 x = +2 Válasz: +2
2. megoldás sinx + cosx = - 1 i Válasz: +2 y x 0 1 2sin cos + - + + = 0 sin cos + = 0 cos (cos + sin) = 0 cos = 0 cos + sin = 1 = + m tg = -1 = + m = - + x = - +2 x = +2
3. megoldás i y x 0 1 sinx + cos x = - 1 2 = x = x + x sin2x = 0 2x = x = Válasz:
sinx + cosx = -1 4. megoldás i y x 0 1 + = - 1 2tg + 1- = -1 - 2tg = - 2 = - + n x = - + 2 n Válasz: - + 2 n
Ellenőrizzük a megoldásokat A helyes döntések Kitaláljuk, hogy mikor jelenhetnek meg az idegen gyökerek, és miért ²2 Válasz: +2 №3 Válasz: №4 Válasz: + 2 n №1 Válasz: +2
A megoldás ellenőrzése Tennem kell egy csekket? Ellenőrizze a gyökereket csak abban az esetben, ha megbízhatósága van? Ez természetesen hasznos, ha egyszerűen helyettesítjük, de a matematika az emberek racionális, és nem tesz szükségtelen intézkedéseket. Vegyük fontolóra a különböző eseteket, és emlékezzünk, amikor valóban szükség van egy csekkre.
1. A legegyszerűbb elkészített képletek c osx = a x = a = a s inx = a t gx = a Azokban az esetekben, amikor a gyökerek megtalálhatók a legegyszerűbb, elkészített képletekkel, akkor az ellenőrzést elvégezhetjük. Mindazonáltal, ilyen formulák alkalmazása során meg kell említeni azokat a feltételeket, amelyek mellett alkalmazhatók. Például a formula = 0 állapotúak lehetnek. -4ac 0 A a legnagyobb hiba az x = arccos2 + 2 válasz a cosx = 2 egyenlethez. mivel az x = arccos a + 2 képletet csak a cosx = a egyenlet gyökereire lehet használni. ahol | a | 1
2. Transzformációk Az egyenletek megoldása során gyakrabban sok átalakításra van szükség. Ha az egyenletet egy olyan új helyettesíti, amely rendelkezik az előző összes gyökerével és átalakítja úgy, hogy nincs veszteség vagy gyökérszerzés, akkor ezek az egyenletek egyenértékűek. 1. Amikor az egyenlet komponenseit átruházza egyik részről a másikra. 2. Amikor ugyanarra a számra mindkét részt hozzáadja. 3. Ha az egyenlet mindkét oldalát ugyanazon nem nulla számmal szorozzuk. 4. Valódi számok halmazán érvényes azonosságok alkalmazása esetén. Így az ellenőrzés nem kötelező!
Azonban nem minden egyenlet megoldható egyenértékű transzformációkkal. Gyakrabban nem egyensúlyi transzformációk alkalmazása szükséges. Gyakran az ilyen átalakulások olyan képletek használatán alapulnak, amelyek nem minden valós értékre érvényesek. Ebben az esetben különösen az egyenlet definíciójának tartománya változik. Az ilyen hiba megtalálható a # 4 döntésben. Elemezzük a hibát, de először megnézzük a 4. megoldás módját. sinx + cosx = -1 + = -1 2tg + 1- = -1- 2tg = -2 = - + NX = - + n 2 rejlik képletű Error sin2x = ezt a képletet lehet csak tovább ellenőrzi, hogy a gyökerek a + formanyomtatvány számát, amelyre a tg nincs definiálva. Most már világos, hogy a megoldás a gyökerek elvesztése. Végezzük el a végét.
Megoldás # 4 i y x 0 1 Ellenőrizzük a számokat = + n helyett. x = + 2 n az egyenlet gyökere Válasz: +2 sinx + cosx = - + 1 = + 2 n sin (+ 2 n) + cos (+ 2 n) = sin + cos = 1 + = - 1 2tg + 1- = -1 - 2tg = - 2 = - + nx = - + 2 n
A gyökérvesztés egyik módját tartottuk számon, sokan vannak a matematikában, ezért gondosan kell eldönteni, hogy emlékeznek az összes szabályra. Továbbá, hogyan lehet elveszteni az egyenlet gyökereit, a megoldás során is extra lehet. Tekintsük az ³3-as határozatot, amelyben az ilyen hiba elfogadható.
3. számú határozat Van x 0 1 2 2 és extra gyökér! Külső gyökerek jelentkezhetnek, ha az egyenlet mindkét része négyzetre kerül. Ebben az esetben ellenőriznie kell. N = 2k esetén sin k + cos k = -1; cos k = -1 a k = 2m-1 esetében. Ezután n = 2 (2m + 1) = 4m + 2. x = +2 m. A: 2 Ha n = 2k + 1, van sin + cos = - 1 sin (+ K) + cos (+ k) = - 1 cos k-sin k = - 1 cos k = -1, ha k = 2m + 1 n = 2 (2m + 1) + 1 = 2m + 3 x = (4m + 3) = +2 m = - +2 sinx + cosx = - 1 = x = x + x sin2x = 0 2x = X =
Tehát néhány lehetséges esetet vizsgáltunk meg, amelyek közül sokan vannak. Próbáld meg ne pazarolni az idejét hiába, és ne csináld ostoba hibákat.