Egy kis történelem - a stadopedia
Beszéljünk a valószínűségelmélet egyik szakaszáról - a kombinatorikáról.
A Combinatorics egy olyan matematika ág, amely az objektumok kombinációit és permutációit vizsgálja. Egy másik kombinatorikát úgy lehet értelmezni, mint a lehetséges opciók keresése. A Combinatorics a 17. században született. Hosszú ideig a matematika fejlődésének fő áramlatán kívül esett.
A kihívás, hogy kellett választani bizonyos elemek, rendezni őket egy bizonyos sorrendben, és keressen a különböző helyszíneken a legjobb, az emberek szembesültek még a történelem előtti időkben, választotta a legjobb helyzetben a vadászok, harcosok - a csata során, szerszámok - működés közben .
A kombinációs készségek a szabadidőben is hasznosak voltak. Lehetetlen pontosan megmondani, mikor együtt versenyeken futó, diszkosz dobás, ugrás játékkal megjelent, igényes, mindenekelőtt a képesség, hogy számít, hogy a tervek és megcáfolni az ellenség terveit.
Idővel számos játék volt (backgammon, kártyák, dámák, sakk stb.). Mindegyik játékban meg kellett fontolnunk a számok különböző kombinációit, és azok, akik jobban megtanulták őket, ismerték a győztes kombinációkat, és tudták, hogyan lehet elkerülni a veszteségeket. Nem csak a szerencsejáték szolgáltatta a matematikusok kombinatorikus reflexióját. Hosszú ideig a diplomaták, akik a levelezés titkosságára törekedtek, összetett kódokat találtak fel, és a többi állam titkosszolgálatai megpróbálták feloldani ezeket a kódokat. A kombinatorikus elveken alapuló titkosítók használata kezdett, például a betűk különböző permutációira, a betűk helyettesítésére kulcsszavak segítségével stb.
Kombinatorika, mint tudomány kezdett kialakulni a 18. században párhuzamosan a megjelenése az elmélet a valószínűség, hogy megoldja a problémákat valószínűség szükséges volt, hogy számolja meg a különböző kombinációi elemekkel. Az első tudományos vizsgálat kombinatorika tartoznak az olasz tudós Dzh.Kardano, N.Tartale (1499-1557), G.Galileyu (1564-1642) és a francia tudósok B.Paskalyu (1623-1662) és Fermat.
Tehát az összes természetes szám 1-től n-ig terjedő termékeit n-faktorikusnak nevezzük és írjuk: n! = 1 2 3 ... (n-1) n
A Kombinatorika megoldja a készletek megfontolásával kapcsolatos problémákat és a készletek elemeinek különböző kombinációinak összeállítását. Az összeállítás szabályaitól függően háromféle kombináció különbözhet: permutációk, elhelyezések, kombinációk.
Továbbra is csak olyan készletekkel fogunk működni, amelyek véges számú elemet tartalmaznak. Végtelen készleteken az alábbi szabályok és képletek nem érvényesek.
ELMÉLET 2.1. Adjuk meg a diszjunkt véges készleteket. Ezután a készletek kombinálásának ereje megegyezik e készletek erejének összegével:
E tétel bizonyítása nyilvánvaló. De érdekel a tétel másik értelmezése, melyet két készletre formálunk.
Ha bizonyos elemeket úgy lehet kiválasztani, hogy az egyes elemek kiválasztása és az elemek kiválasztása bármilyen módon eltér az elemek kiválasztásának bármely módjától, akkor a "vagy" választása megegyezhető. Ez a szabály az összeg szabály.
Adjuk meg a diszjunkt véges készleteket. Jelöljük az elemek számát ebben a csoportban (hatáskörüket). Tekintsük a sorozatok Descartes termékét. Emlékezzünk vissza, hogy ennek a terméknek a elemei a faj hosszának vektorai (tuples) lesznek.
TEOREM 2.2. A sorozatok Descartes-termékben lévő elemei száma megegyezik a készletek erejével.
Az előző esethez hasonlóan ezt a tételt egyszerűsített formában formulázzuk két készlet esetében. Ha egy elemet úgy választhatunk ki, hogy egy elemet választunk, és egy elem kiválasztása bármely elemtől függetlenül megegyezik, akkor a "és" (vagyis a párok) választása így történhet. Ezt a szabályt a termék szabályaként vagy többszörözésnek nevezzük.
Mindkét megfogalmazott szabály minden véges számú véges halmazra érvényes, és a megfelelő formában általánosítottnak mondják.
a) A középiskolában három, ötödik, 28, 31 és 26 tanuló van. Az iskolavezetésben való részvételhez az egyiket ki kell választani. Hányféle módon tud választani?
A kapott összeg szabályával.
b) Az ábrázolási szakaszban 14 fiú és 18 lány vesz részt. Hány különböző módja van a résztvevő gyerekeknek, sportpárokat formálhatnak.
A termék szabálya szerint kapunk.
Definíció. Bármely olyan hosszúságú vektort, amely egy olyan elem elemeiből áll, amelyekben az elemek különbözőek, az elhelyezésnek nevezik, anélkül, hogy ismétlődnének a. Minden olyan elem elhelyezésekor, amelyek elemek nélkül ismétlődnek, jelölve van és egyenlő.
2. példa. Vásárolt különböző 12 könyvet. A polcra pontosan egy-egy könyvbe lehet sorolni. Hány különböző módon lehet ezt tenni?
Különbözőek nemcsak azokra a különböző esetekre fogunk számot venni, amikor más könyveket készítünk, hanem más sorrendben is (pl. Aztán 12 per permutációról beszélünk.
Vegyünk egy alapvetõen különbözõ esetet, nevezetesen, amikor a vektorok egy készletének elemei megismételhetõk.
Definíció. Bármely hosszvektor, amely olyan elemekből álló elemekből áll, amelyek olyan elemekből állnak, amelyekben az összes elem különbözik, az elhelyezésnek nevezzük az ismétlődő elemeket. Az összes elhelyezés számát az elemek ismétlésével jelölik és azonosak.
3. példa Hány különböző kombináció történhet, amikor három kockát dobnak össze?
Minden kocka egy kockát képvisel, melynek arcán egy-hat pont van ábrázolva. Mindegyik dobásnál kapunk olyan fajta készleteket, ahol - a pontok száma a megfelelő csontra esett. A permutációkról beszélünk 3 elemből álló ismétlésekkel a 6-ból.
Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy az ismétlések nélküli hozzárendelések különleges esetek az ismétlődő elhelyezésekkel.
Definíció. Bármely olyan elem vektorja, amely egy elem elemeiből áll, amelyekben az összes elem különbözik, permutációnak nevezzük, az elemek ismétlése nélkül. Az elemek ismétlése nélküli összes permutáció számát jelölik és azonosak.
A definícióból és a képletből nyilvánvaló, hogy az ismétlések nélküli permutációk különleges esetek az ismétlések nélküli elhelyezések esetében.
4. példa. Hányféle módon helyezhet 10 különböző könyvet a polcra?
Itt a 2. példával ellentétben az érték csak a terjesztendő könyvek sorrendje. Ezért 10 elemből álló permutációról van szó. Kapunk :.
Tekintsük az esetet, amikor a készlet elemeit többször megismételjük. Határozottan, hagyja az 1-es elemet egyszer, a 2. elemet - egyszer és így tovább. Ezután az adott készlet elemeitől képzett hosszúságvektorok az ismétlődő elemek permutációinak nevezhetők. Az ilyen permutációk száma megegyezik és egyenlő.
Az utolsó képletben az ismétlések nélküli permutáció formulát kapunk.
5. példa Hány különböző hatjegyű számot írhatunk az 1, 2, 2, 2, 3, 3 számjegyekkel?
Hat számjegyből áll, amelyben a 2-es számot háromszor ismételjük meg, és a 3-as számot kétszer ismételjük meg. A kapott számok permutációk 6 elemek ismétlésével. Kapunk :.
Először is megjegyezzük, hogy az elhelyezésekből származó permutációk között jelentős különbség van. Ha elhelyezések vektorok különbözhetnek az összetételben, az elemek, és azok elrendezését (sorrendben) a beállított, a permutáció a vektorok csak abban különböznek, elrendezése elemek. Természetes, hogy figyelembe vesszük az esetet, ha a vektorok éppen ellenkezőleg, csak az elemek összetételében különböznek egymástól.
Definíció. Bármilyen különböző hosszúságú vektor, tagjai több elemi alkatrészek, amelyek különböznek egymástól a készlet elemek, de nem azok elrendezése a készlet, nevezzük kombinációin elemek.
Ha a kombinációkat alkotó összes elem különbözik, ismétlődés nélküli kombinációnak nevezik őket. Az összes kombináció kijelölése megismétlés nélkül. Számítási képlet. Ha egyes (vagy mindegyik) kombinációt alkotó elemek megismételhetők, az ismétlések kombinációinak nevezik őket. Az összes kombináció kijelölése megismétlés nélkül. Számítási képlet. Ne feledje, hogy az utolsó képlet nem szükséges.
Megjegyzés: 1. A kombinációk az elhelyezések különleges esetei. A definíciók közötti kombinációk és elhelyezések közötti különbség nem nyilvánvaló, de konkrét példákkal könnyű látni. Például a vektorok és különböző elrendezések, de ugyanazt a kombinációt jelölik.
Megjegyzés 2. Az ismétlések nélküli kombinációk esetében feltétlenül szükség van, és egyenlőség esetén természetes eredménnyel járunk. De az ismétlõdõ kombinációkhoz ez a követelmény nem szükséges, amint az alábbi példa is mutatja.
a) A tanszéken 10 alkalmazott dolgozik. Háromat kell kiválasztani, hogy üzleti útra küldhessék. Hányféle módon teheti ezt?
Mivel csak a munkatársak kiválasztása fontos, akkor a 10 elemből álló 3 elemből álló ismétlődő kombinációkról van szó.
b) A virágüzletben 5 különböző típusú virág eladó. A vevő köteles 7 színű csokor készítésére. Hányféle módon teheti ezt?
Különbözőek azok a csokrok, amelyek különböznek egymástól a színek kiválasztásánál. Mivel a csokor virágai megismételhetők, akkor a 7 elemből álló, ötszörös ismétlésű kombinációkról beszélünk.
A kombinatorikus képletek egyik leghíresebb példája az úgynevezett Newton binomiális. Általában a Newton binomiális (binomiális) formula így néz ki:
A képlet alkalmazásának különleges eseteiben (esetekben és esetekben) ütköznek az iskolában a rövidített szorzás képletek tanulmányozása során:
A gyakorlatban, a kényelem érdekében a Newton binomiális használata az úgynevezett Pascal háromszöget használja, amely a képlet jobb oldalán található polinom numerikus együtthatóit tartalmazza: