A mátrix definíció szerinti meghatározása egy stadopedia
1. Ha a mátrix bármely sorának (oszlopa) csak nullákból áll, akkor determináns értéke 0.
2. Ha a mátrix minden sorának (oszlopának) minden elemét egy számmal megszorozzák # 955 ;, akkor meghatározója megszorozva ezzel a számmal # 955;
3. Amikor a mátrix átültetésre kerül, annak meghatározója nem változik: | A '| = | A |.
4. Ha egy mátrix két sorát (oszlopait) váltják egymással, meghatározója megfordítja annak jeleit.
5. Ha egy négyzetmátrix két azonos sorozatot (oszlopot) tartalmaz, akkor annak meghatározója 0.
6. Ha a mátrix két sorának (oszlopainak) elemei arányosak, akkor meghatározója 0.
7. A mátrix egy sor (oszlop) elemeinek termékeinek összege a mátrix egy másik sorának (oszlopának) elemeinek algebrai komplementuma szerint 0.
8. A mátrix meghatározója nem változik, ha egy másik sor (oszlop) elemei hozzá vannak adva a mátrix egy sor (oszlop) elemeihez, amelyeket előzőleg ugyanazzal a számmal megszoroztak.
9. Az önkényes számok összege b1. b2. ..., bn az egyik sor (oszlop) elemeinek algebrai komplementuma megegyezik a mátrix meghatározójával, amelyet az e sor (oszlop) elemeinek adott cseréjéből kapott b1 számmal számolunk. b2. ..., bn.
10. A két négyzetmátrix termékének meghatározója megegyezik determinánsaik termékeivel:
| C | = | A | * | B |, ahol C = A * B; A és B-mátrixok n.
A mátrix elemi átalakulásait az alábbiaknak nevezzük:
1. A nulla sor (oszlop) leesése.
2. A mátrix egy sorának (oszlopának) összes elemének szorzása nullával nem egyenlő számmal.
3. A mátrix sorainak (oszlopainak) sorrendjének megváltoztatása.
4. Adjon hozzá egy másik sor (oszlop) megfelelő elemeinek egy sorához (oszlopához) tartozó minden egyes elemét, szorozva bármilyen számmal.
5. Tegye át a mátrixot.
Számos matematikai és alkalmazott probléma megoldására és tanulmányozására fontos a mátrix rangjának fogalma.
Definíció. Az A mátrix rangja a mátrix legmagasabb nem-kiskorú kiskorúja.
Az A mátrix rangját A vagy r (A) rangsorolásnak nevezzük.
A mátrix rangjának tulajdonságai:
1 Az A mátrix rangja nem haladja meg a kisebb méretét;
rang A ≤ min (m; n);
2 0. r (A) = 0 ha és csak akkor, ha a mátrix összes eleme nulla, azaz. A = 0;
3 0. Az n-edik sorrend négyzetes mátrixa esetén r (A) = n és csak akkor, ha az A mátrix nem degenerálódik.
Az A négyzetmátrix nem-degenerált, vagy nem-szinguláris. ha a meghatározója eltér a nullától, és degenerálódik, vagy egyedülálló. ha # 916; = 0.
Tétel. A mátrix rangja nem változik az elemi mátrix transzformációkban.
Így az első módszer a mátrix rangjának megállapítására a kiskorúak számozásának módszere. Ez a módszer a mátrix rangjának meghatározásán alapul.
Tegyük fel, hogy meg kell találnunk a sorrend A mátrixának rangját.
Röviden leírjuk az algoritmust a probléma megoldására a kiskorúak szelekciójának módja szerint.
Ha van legalább egy mátrix elem nullán kívül, akkor a mátrix rangja legalább egy (mivel az első rendű kicsi, nem nulla).
Ezután felsoroljuk a másodrendű kiskorúakat. Ha a második rend összes kiskorúja nulla, akkor a mátrix rangja megegyezik az egyvel. Ha létezik legalább egy másodrendű nem-nulla kisebb, akkor folytatjuk a harmadik megbízás kiskorúinak keresését, és a mátrix rangja legalább kettő.
Hasonlóképpen, ha minden harmadik rendű kiskorú nullával rendelkezik, akkor a mátrix rangja kettő. Ha létezik legalább egy harmadrendű kiskorú, amely nullától különbözik, akkor a mátrix rangja legalább három, és mi meghaladjuk a negyedik rendű kiskorúak keresését.
Keresse meg a mátrix rangját.
Mivel a mátrix nem nulla, a rangja legalább egy.
A másodrendű kisebb a nulla, tehát az A mátrix rangja legalább kettő. Folytassuk a harmadik rendű kiskorúak rendezését. Mindegyik darab.
Minden harmadik rendű kiskorú nullával rendelkezik. Ezért a mátrix rangja kettő.