Exponenciális egyenletek és azok rendszerei
Exponenciális egyenletek olyan egyenletek, amelyek az exponensben ismeretleneket tartalmaznak.
Az űrlap egy egyenlete: \ (a ^ x = b, ahol \ a> 0, a ≠ 1 \)
a legegyszerűbb exponenciális egyenletnek nevezzük.
Az exponenciális egyenletek megoldásának módszerei
- Az átalakítások eredményeként az egyenlet a következő alakra redukálható: \ (a ^ = a ^ c \). Ezután alkalmazzuk a tulajdonságot: \ (a ^ = a ^ c \ Rightarrow f (x) = c \).
- Kézhezvételét követően egyenletek formájában \ (a ^ = b \) meghatározzuk a logaritmusát használják, kapjuk: \ (f (x) = \ log_a b \).
- Az átalakulások eredményeképpen megkaphatjuk az alábbi egyenletet: \ (a ^ = b ^ \). A logaritmus használható: \ (\ log_ca ^ = \ log_cb ^ \). Majd alkalmazzuk a mértékét logaritmus tulajdonság: \ (f (x) \ cdot \ log_ca = g (x) \ cdot \ log_cb \). Kifejezzük és megtaláljuk \ (x \).
1. példa Megoldja az egyenletet: \ (3 ^ + 3 ^ x - 3 ^
Megoldás: Az ilyen egyenletek megoldásának módja az, hogy a fokozatot a legkevesebb indexekkel a zárójeleken túlmutassa. Ebben az esetben vesszük a zárójeleket \ (3 ^ \). \ (3 ^ (3 ^ 3 + 3 ^ 2 - 1) = 35 \ Rightarrow ^ 3 = 35 · 35 \ Rightarrow 3 = 1 \).
Az utolsó egyenletet \ (3 ^ = 3 ^ 0 \) írjuk le, és az exponenciális függvény monotonitásának figyelembevételével arra a következtetésre jutunk, hogy \ (x-2 = 0 \ Rightarrow x = 2 \).
2. példa Az egyenlet megoldása: \ (4 ^ - 2 ^ - 8 = 0 \).
Megoldás: Az egyenletet az alábbiak szerint írjuk át: \ (2 ^ - 2 \ cdot 2 ^ - 8 = 0 \). Bemutatjuk a helyettesítést \ (t = 2 ^ x \). egy négyzetes egyenletet kapunk a \ (t \) tekintetében. \ (t> 2-2t-8 = 0 \). Megtaláljuk a gyökereit: \ (t_1 = 4, t_2 = -2 \). Továbbra is fordított csere. Az (2 ^ x = 4 \) egyenletnek egyedi root \ (x = 2 \) van. Egyenlet \ (2 ^ x = -2 \) gyökerek nem, mint az exponenciális függvény \ (y = 2 ^ x \) nem tud negatív értékeket.
Az exponenciális egyenletekből álló egyenletek rendszereit exponenciális egyenletek rendszerének nevezzük.
3. példa Az egyenletek rendszerének megoldása \ (\ begin 2 ^ -3 ^ y = -1 \\ 3 ^ y-2 ^ x = 2 \\ end \).
Megoldás: Ez a rendszer egyenértékű a rendszer \ (\ kezdődik 2 \ cdot 2 ^ -3 ^ y = -1 \\ 3 ^ y-2 ^ x = 2 \\\ vége \). Tegyük fel, hogy \ (2 ^ x = u \ (u> 0), 3 ^ y = v \ (v> 0) \). akkor kapunk: \ (\ begin 2u-v = -1 \\ v-u = 2 \\ \ end \). A kapott rendszert a hozzáadás módszerével oldjuk meg. Adjuk hozzá az egyenleteket: \ (2u-v + v-u = -1 + 2 \ Rightarrow u = 1 \). Ezután a második egyenletből kapjuk, hogy \ (v = 2 + u = 2 + 1 = 3 \). Mi folytassa az inverz permutációs: \ (\ kezdődik 2 ^ x = 1 3 \\ ^ y = 3 \\ \ end \ Rightarrow \ kezdődik x = 0 \\ y = 1 \\ \ end \).