Az empirikus jellemzők konvergenciája elméleti
Bevezettünk három olyan empirikus jellemzőt, amelyek az ismeretlen elméleti eloszlási jellemzők becslésére szolgáltak: az empirikus eloszlásfüggvény, a hisztogram, a szelektív pillanatok. Ha becsléseink sikeresek, a különbség a tényleges jellemzők és a tényleges jellemzők között nullával jár, a minta méretének növekedésével. Az empirikus tulajdonságok e tulajdonságát következetességnek nevezzük. Gondoskodjunk arról, hogy szelektív tulajdonságaink rendelkezzenek ilyen tulajdonsággal.
enged # 151; a minta térfogata ismeretlen eloszlású eloszlásfüggvényekkel. enged # 151; Az empirikus eloszlás függvénye ebből a mintából készült. Akkor mindenki számára
# 151; véletlen változó, mivel a véletlen változók függvénye. Ugyanez mondható el a hisztogramról és a szelektív pillanatokról.
Az 1. tétel igazolása. Definíció szerint 1.
Véletlen változók, függetlenek és azonosak, matematikai várakozásuk véges:
Így, ahogy a minta nagysága növekszik, az empirikus eloszlás függvény (valószínűséggel) egy ismeretlen elméleti értékhez konvergál.
Egy általánosabb eredmény igaz, ami azt mutatja, hogy az empirikus eloszlás függvényének az elméleti eloszláshoz való konvergenciája "egységes".
Glivenko tétele # 151; Cantelli.
enged # 151; a minta térfogata ismeretlen eloszlású eloszlásfüggvényekkel. enged # 151; Az empirikus eloszlás függvénye ebből a mintából készült. majd
Sőt, az 1. tétel és a Glivenko feltételei szerint # 151; Cantelli konvergencia nem csak a valószínűségben, hanem szinte biztosan.
Ha az elosztási funkció folyamatos. akkor a Glivenko-tételben a nullára való konvergencia mértéke # 151; Cantelli rendelése:
enged # 151; a folyamatos eloszlású függvényből származó ismeretlen eloszlású térfogatmintát, és a empirikus eloszlásfüggvényt. majd
ahol a random változó Kolmogorov-eloszlással rendelkezik, folyamatos elosztási függvénnyel
Az empirikus eloszlás következő tulajdonságai # 151; Ezek a független kifejezések számtani középértékének jól ismert tulajdonságai, amelyek mellett Bernoulli-eloszlás is van.
Az első két pont azt állítja, hogy egy véletlen változó matematikai várakozása és varianciája csökken. A harmadik tétel azt mutatja, hogy mi konvergál a sebességgel.
1), azaz. # 151; "Nem elfogult" becslés; 2); 3) ha ezután, azaz. # 151; "Aszimptotikusan normális" becslés; 4) a véletlen változó binomiális eloszlással rendelkezik.
Tulajdon igazolása 1. Újra megjegyezzük, hogy a Bernoulli eloszlásnak van egy eloszlása
1) A véletlenszerű értékek egyenlően oszlanak el, tehát hol használják ugyanazt az eloszlást?
2) A véletlen változók, függetlenek és azonosak, tehát hol használják a függetlenséget?
4) Mivel (az egy kísérletben elért sikerek száma) Bernoulli disztribúcióval rendelkezik, miért? akkor binomiális eloszlással rendelkezik. miért és mi a summability?
MEGJEGYZÉS 4. A 2. fejezetben minden definíciót, például "értékelést", "elfogulatlanul", "konzisztenciát", "aszimptotikus rendszert" kell feltüntetni.
Hagyja, hogy az eloszlás teljesen folytonos legyen, # 151; annak valódi sűrűsége. Tételezzük fel továbbá, hogy a csoportosítási intervallumok száma független. Az eset, ahol a megjegyzés 1. megjegyzi. Igaz
4. tétel
Exercise. Teszteljük a 4. tételt (1) és WA-t.
A tétel azt állítja, hogy a csoportosító intervallum fölött konstruált hisztogram oszlopának területe megközelíti a térség területét a sűrűségi görbe alatt ugyanabban az intervallumban, mint a minta térfogatának növekedése.
A minta átlaga az elméleti átlag (matematikai várakozás) elfogulatlan, következetes és aszimptotikusan normális becslése:
1) Ha igen, akkor. 2) Ha, akkor a. 3) Ha u nem nulla, akkor.
1). 2) A WBA szerint Khinchin formájában.
A szelektív - ez a pillanat az elméleti pillanat elfogulatlan, következetes és aszimptotikusan normális becslése:
Tulajdon 3.1) Ha, akkor. 2) Ha, akkor a. 3) Ha u nem nulla, akkor.
Exercise. Bizonyítson be tulajdonságot 3.
Az alábbiakban nem foglalkozunk a megfelelő pillanatok létezésével. Különösen a következő állítás első két pontjában feltételezzük, hogy van egy második pillanat a véletlen változókban, és a harmadik bekezdésben # 151; negyedik (az érték varianciája).
1) Szelektív eltérések és következetes becslések az igazi varianciára:
. 2) Az érték # 151; elfogult, és # 151; elfogulatlan variancia becslés:
3) Mintavételi eltérések és aszimptotikusan normális becslések az igazi varianciáról:
1) Először is, a zárójelek megnyitásával érdemes meggyőződni róla