Valószínűségelmélet
Ha két x és h véletlen változó függ, akkor az egyik értékükre vonatkozó információ megváltoztatja a másik eloszlásának nézetét.
Más szóval, a kétdimenziós véletlen változó (x.H) eloszlásából az egyes x és h mennyiségek eloszlását meg lehet határozni.
Folyamatos kétdimenziós véletlen változók esetén a feltételes eloszlásokat az alábbi séma szerint állítjuk össze.
Ha a kétdimenziós véletlen változó (x.H) p (xH) (x, y) valószínűségi sűrűsége, akkor az egyes komponensek valószínűségi sűrűségét az alábbi képletekkel számoljuk:
Az x véletlen változó feltételes eloszlási sűrűsége azzal a feltétellel, hogy a h véletlen változó h = y0 értékkel rendelkezik. az x változó függvénye. amelyet a képlet határoz meg
Hasonlóképpen, egy feltételezett eloszlási sűrűség egy h valószínűségi változó mellett, azzal a feltétellel, hogy az x véletlen változó az x = x0 értéket veszi fel. az y függvénye. amelyet a képlet határoz meg
1. példa Egy folyamatos véletlen vektor komponenseinek függetlensége
Tekintsünk példát egy folyamatos, kétdimenziós véletlen változóra, amely egyenletesen oszlik meg az egységkörben. Találjuk meg az egyes komponensek valószínűségi sűrűségét és feltételes valószínűségi sűrűségüket. Ellenőrizzük egy kétdimenziós véletlen változó összetevőinek függetlenségét.
Az alábbiak egyik fontos példája egy normál eloszlású véletlen vektor (x.H).
A legáltalánosabb esetben az ilyen vektor valószínűségi sűrűsége öt paramétertől függ. ah. s x. s h és k xh, és a következő alakú:
Ráadásul könnyen megtalálhatjuk az x és h véletlen változók eloszlási sűrűségét:
azaz Az x és h véletlen változók normál eloszlásúak, x paraméterekkel. ah. s x> 0,
Tekintsük az x feltételes eloszlását h = y feltétel mellett. Ehhez egyszerű számítások elvégzésével megtaláljuk
Ez egy normál eloszlás az u paraméterekkel.
Hasonlóképpen megtalálható a h feltételes eloszlás feltételes eloszlása az x = x feltétel mellett:
Látható, hogy az u paraméterek szintén normálisak.
2. példa Egy rendes eloszlású véletlen vektor komponenseinek függetlensége
Tekintsünk egy példát egy folyamatos kétdimenziós véletlen változóra, amelyet normálisan az a = 0, ah = 1, s x = 1, s h = 2 paraméterekkel osztunk szét. k xh = 0,5. Találjuk meg az egyes komponensek valószínűségi sűrűségét és feltételes valószínűségi sűrűségüket. Ellenőrizzük egy kétdimenziós véletlen változó összetevőinek függetlenségét.