Az adiabatikus invariáns
A klasszikus mechanikus rendszerben, amely periodikus mozgást végez T idővel és a λ paramétertől függ, a paraméterváltozás adiabatikusságát a feltétel
A rendszer hamiltonjai a belső változóitól és a paramétertől függenek
A q és p belső változók gyorsan változhatnak idővel, T. periódussal. Az E rendszer energiája azonban az λ állandó paraméterrel rendelkező mozgás szerves része. Amikor a paraméter időben megváltozik
Ha ezt a kifejezést egy adott időszak alatt idővel átlagoljuk, feltételezzük, hogy a λ paraméter változatlan.
ahol az átlagolás meghatározása:
Kényelmes az időbeli integrációból a q változó feletti integrációhoz:
Ebben az esetben a T idő egyenlő
ahol az integráció a mozgás időszaka alatt a koordináta megváltozásának határain belül előre és hátra kerül.
A lendületet az energia E, a q koordinátája és a paraméter függvényeként írjuk le, miután néhány transzformációval megszerezhetjük
Végül írhat
és adiabatikus invariáns lesz.
Az integrál. amely a kapott kifejezésbe belép, egyszerű geometriai jelentést kap, ha a fázistérfogat és a benne lévő rendszer fázisútja felé fordul. A vizsgált esetben a rendszer egyfajta szabadsággal rendelkezik. ezért a fázis tér egy fázisszint. amelyet p és q koordinátákkal rendelkező pontok alkotnak. Mivel a rendszer periodikus mozgást végez, a fázisút [2] zárt görbéje ezen a síkban, az integrál pedig a zárt görbe mentén történik. Ennek eredményeképpen az integrális ∮ p d q egyenlő a rendszer fázistranszferjével határolt értékkel.
A terület kétdimenziós integrál formájában is kifejezhető, majd az adiabatikus invariáns,
Egy példa. Harmonikus oszcillátor
Vegyünk példaként egy egydimenziós harmonikus oszcillátort. Az ilyen oszcillátor Hamilton-funkciójának formája van
ahol ω az oszcillátor sajátfrekvenciája (ciklikus). Ebben az esetben a fázisútvonal egyenletét a H (Q. Q) = E energia-megőrzési törvény határozza meg, és ezért az
Az egyenletből látszik, hogy a pálya egy ellipszis, 2 m E >> és 2 E / m ω 2 >>> semiaxokkal. Ennek megfelelően területe 2 π-val osztva. egyenlő E ω >> értékkel. Így az I = E ω >> mennyiség egy adiabatikus invariáns a harmonikus oszcillátor számára. Ebből következik, hogy azokban az esetekben, amikor az oszcillátor paraméterei lassan változnak, energiája a frekvencia arányában változik.
Az adiabatikus invariáns tulajdonságai
Az adiabatikus energiainvariáns deriváltja megegyezik a 2π-vel osztott idővel.
ahol ω a ciklikus frekvencia.
A kanonikus transzformációk segítségével egy változó adiabatikus invariánsát hozhatjuk létre, amelyet az akcióváltozatnak nevezünk. Az új változók rendszerében impulzus szerepet játszik. A kanonikusan konjugált változót szögsebességnek nevezzük.