Az összeg koszinusa és a két szög különbsége
Az összeg koszinusa és a két szög különbsége
Ebben a részben a következő két képletet fogják igazolni:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
A két szög összegének (különbsége) koszinusa megegyezik e szögek koszinuszának termékével, minusz (plusz) a szögek szinuszainak terméke.
Könnyebb lesz megkezdeni a (2) bizonyítékot. Az expozíció egyszerűségéhez először azt feltételezzük, hogy az α és β szögek megfelelnek az alábbi feltételeknek:
1) mindegyik szög nem negatív, és kisebb, mint 2π:
Legyen a 0x tengely pozitív része az α és β szögek közös kezdeti oldala.
E szögek végét 0A és 0B jelöli. Nyilvánvaló, hogy az α-β szög tekinthető olyan szögnek, amelyhez a 0B sugár forgása a 0 pont köré kell fordulni az óramutató járásával ellentétes irányban úgy, hogy az iránya egybeessen az OA sugár irányával.
A 0A és 0B sugaraknál az M és N pontokat jelöljük, amelyek 1-es távolságon belül a 0 eredetűek, így 0M = 0N = 1.
Az x0y koordinátarendszerben az M pont koordináta (cos α, sin α), és az N pont a koordináta (cos β, sin β). Ezért a köztük lévő távolság négyzetét:
d1 2 = (cos a - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos a cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2 sin α sin β + sin 2 β = 2 (1 - cos a cos β - sin α sin β).
A számítások során az identitást használtuk
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Most nézzünk egy másik B0C koordinátarendszert, amelyet a 0x és 0y tengelyek forgatásával nyerünk a 0 pont körül az óramutató járásával ellentétes irányba a β szöggel.
Ebben a koordinátarendszerben az M pont koordinátákat (cos (α - β), sin (α - β)) és az N pont koordinátákat (1,0) tartalmaz. Ezért a köztük lévő távolság négyzetét:
(α-β) -0] 2 = cos 2 (α-β) -2 cos (α-β) + 1 +
+ sin 2 (α-β) = 2 [1-cos (α-β)].
De az M és N pont közötti távolság nem függ attól a relatív koordináta-rendszertől, amelyet ezekre a pontokra gondolunk. ezért
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 [1- cos (α-β)].
Ez a (2) képletet jelenti.
Most emlékeznünk kell arra a két korlátra, amelyet az egyszerűség bemutatása érdekében az α és β szögekhez igazítottunk.
Az a követelmény, hogy mindegyik α és β szög ne legyen negatív, valójában nem lényeges. Végül is ezen szögek bármelyikéhez hozzá lehet adni a 2π szöget, amely nem befolyásolja a (2) képlet érvényességét. Hasonlóképpen mindkét szögből kiválaszthatók a 2π szöge többszöröse. Ezért feltételezhetjük, hogy 0 <α <2π. 0 <β <2π .
Az α> β feltétel sem lényeges. Valóban, ha α <β. то β>α; ezért figyelembe véve a cos x függvény paritását. kapunk:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
amely lényegében egybeesik a (2) képlettel. Így a képlet
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
minden α és β szögre igaz. Különösen a β by -β helyettesítve, és figyelembe véve, hogy a cosx függvény egyenletes, és a függvénynek sinxje furcsa, akkor:
cos (α + β) = cos [α - (-β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
amely az (1) képletet igazolja.
Így az (1) és (2) képletek bebizonyosodnak.
1) cos 75 ° = cos (30 ° + 45 °) = cos 30 ° • cos 45 ° szin 30 ° szin 45 ° =
2) cos 15 ° = cos (45 ° - 30 °) = cos 45 ° • cos 30 ° + 45 ° szinusz • bűn 30 ° =
1. A trigonometrikus táblázatok használata nélkül számítsa ki:
a) cos 17 ° • cos 43 ° - bűn 17 ° • bika 43 °;
b) bűn 3 ° • bika 42 ° - cos 39 ° • cos 42 °;
c) cos 29 ° • cos 74 ° + bűn 29 ° • bűn 74 °;
d) bűn 97 ° • bika 37 ° + cos 37 ° • cos 97 °;
b). cos (36 ° + α) • cos (24 ° - α) + sin (36 ° + α) • bűn (α - 24 °).
d) cos 2α + tan α • sin 2α.
a) cos (α - β). ha
90 ° <α <180°, 180° <β <270°;
4. Határozzuk meg a cos (α + β) és cos (α-β) értékeket, ha ismert, hogy a bűn α = 7/25. cos β = - 5/13, és mindkét szög (α és β) ugyanabban a negyedévben ér véget.
c). cos [arctg 1/2 + arccos (-2)]