(3) bekezdés
5. §. Integrált változó funkciójának integrálása egy görbe mentén a komplex síkon.
1. Kiegészítő rendelkezések. Párhuzamosan sima görbe. A második típus görbületi integrái.
2. Egy összetett változó függvényének integráljának meghatározása.
3. Az f (z) dz tulajdonságai.
Kiegészítő rendelkezések.
1) Egyrészes sima görbe - A z = z (t) = x (t) + iy (t) pontok halmaza, ahol t [a, b] valós paraméter. x (t), y (t) C [a, b]; x '(t), y' (t) egy darabon folyamatosak [a, b] esetén; x '2 (t) + y' 2 (t) 0 - nincs visszatérési pont, nincsenek öncsomópontok. Ha a görbe zárva van, akkor x (a) = x (b), y (a) = y (b).
2) A második típus görbületi integrái a görbe mentén az (x, y) síkban.
A második típus görbületi integráljának megfelelő feltételek. a C görbe részleges simasága, a P és Q funkciók darabonkénti folytonossága és határolása.
Az alapvető meghatározás.
Az összetett z-sík C-görbéjén az f (z) = u (x, y) + iv (x, y) komplex változó integrálja egy komplex szám. amelynek valódi és képzeletbeli részei a második fajtájú realisztikus és képzeletbeli részek második típusának görbe vonalú integrái:
f (z) dz = [u (x, y) + iv (x, y)] (dx + idy) = udx-vdy + i vdx + udy.
Notes.
1) A létminimum elégséges feltétele a C kontúr C-alakú sima simasága, és a | f (z) | darabonkénti folytonossága és korlátja.
2) Ez a definíció és a második típusú görbe-vonalbeli integrus definíciója => $ Sn = f (z) dz; Sn = f (zi *) D zi. a határ nem függ a partícionálási módtól vagy a köztes pontok kiválasztásától.
A tulajdonságok f (z) dz.
Mivel a kontúr-integrál értéke az integráció irányától függ, hagyjuk, hogy az áramkör áthidalás pozitív irányával megegyezzen abban az irányban, amelyen a zárt kontúr által határolt belső régió a mozgás irányától balra marad. A pozitív irányba történő integrációt a τ c + f (z) dz szimbólum vagy egyszerűen τ c f (z) dz jelöli, a negatív irányba történő integráció f (z) dz.
1) f (z) dz = - f (z) dz; 2) Linearitás. 3) f (z) dz = f (z) dz + e + f (z) dz.
4) | f (z) dz | | f (z) | ds MLc;
5) Az integrál számítása a paraméterhez képest: f (z) dz = f [z (t)] z '(t) dt.
Egy példa. = 2 p i. Az eredmény nem függ sem R 0-tól, sem z 0-tól.
6) A változók helyettesítése. Legyen $ j (x): z = j (x); C<=> G az x és j (x) C C (D) síkon, és egyenértékű a D-ben, ahol D a komplex x-sík területe. tartalmazó G.
=> f (z) dz = f [j (x)] j '(x) d x.