Változó sorozatok, abszolút és feltételes konvergencia
A $ \ sum \ limits _ ^ u_ $ numerikus sorozat, amelynek termékei tetszőleges jelek (+), (?), Az alternáló sorozatot nevezik.
A váltakozó sorozatok a váltakozó sorozat speciális esetei; Világos, hogy nem minden váltakozó sorozat váltakozik. Például néhány $ 1- \ frac - \ frac + \ frac + \ frac - \ frac - \ frac + \ ldots - $ váltakozó, de nem egy váltakozó sorozata.
Megjegyezzük, hogy mind a jel (+), mind a jel (-) váltakozó sorozata végtelenül sok. Ha ez nem teljesül, például a sorozat véges számú negatív kifejezést tartalmaz, akkor eldobható, és csak pozitív kifejezésekből álló sorozatot tekinthet meg, és fordítva.
Ha a $ \ sum \ limits _ ^ u_ $ numerikus sorozat konvergál és összege egyenlő S-vel, és a részösszeg $ S_n $. A $ R_ = S-S_ $ nevezzük a maradék a sorozat, a $ \ mathop \ limits_ R_ = \ mathop \ limits_ (S-S_) = S-S = 0 $, azaz, a konvergens sorozat többi része 0-ra változik.
A sorozat $ \ sum \ határok _ ^ u_ $ nevezik konvergens teljesen, ha a sorozat, amely az abszolút értékek a feltételek $ \ sum \ határok _ ^ \ left | u_ \ right | $.
A feltételes és abszolút konvergencia-sorozat vizsgálata
A megoldás. Ez a sorozat váltakozik, amelynek általános kifejezését $ \ frac \ cdot 9 ^> = u_ $ jelöli. Alkotják a sorozat abszolút értékeinek $ \ sum \ határok _ ^ \ left | u_ \ right | = \ Sum \ határok _ ^ \ frac> $ és alkalmazza a d'Alembert-féle teszt. Formában a limit $ \ mathop \ limits_ \ frac >> $, ahol $ a_ = \ frac> $, $ a_ = \ frac> $. Performing átalakulások, megkapjuk $ \ mathop \ limits_ \ frac >> = \ mathop \ limits_ \ frac \ cdot n! >> = \ mathop \ limits_ \ frac \ cdot 9 \ cdot n! >> = \ mathop \ limits_ \ frac = 0 $. Így a $ \ sum \ limits \ ^ \ left \ u_ \ jobboldali sorozatot = \ Sum \ határok _ ^ \ frac> $ konvergál, ezért a forrás váltakozó sorozat konvergál absolyutno.Otvet: egy sor $ \ sum \ határok _ ^ \ frac \ cdot 9> $ konvergál teljesen.
Az abszolút és feltételes konverziós sorozatok kivizsgálása $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $.
- Vizsgáljuk meg az abszolút konvergencia sorozatait. Jelölje $ \ frac \ cdot \ sqrt> = u_ $ és a kivitelezést egy sor abszolút értékeinek $ a_ = \ left | u_ \ right | = \ frac> $. Megkapjuk a $ \ sum \ limits \ ^ \ left \ u_ \ right \ sorozatot = \ sum \ limits _ ^ \, \ frac> $ pozitív kifejezésekkel, amelyekre a sorozat összehasonlításának határát alkalmazzuk. Ehhez képest számos $ \ sum \ határok _ ^ a_ = \ sum \ határok _ ^ \, \ frac> $ tartjuk száma, amelynek a formája $ \ sum \ határok _ ^ \, B_ = \ sum \ határok _ ^ \, \ frac> \, $. Ez a sorozat a Dirichlet sorozat, amelynek exponense $ p = \ frac
- Ezután vizsgálja meg az eredeti $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $ sorozatot feltételes konvergenciára. Ehhez ellenőrizzük a Leibniz teszt feltételeinek teljesítését. 1. feltétel: $ u_ = (- 1) ^ \ cdot a_ $, ahol $ a_ = \ frac >> 0 $, azaz. ez a sorozat váltakozik. A 2) állapot ellenőrzésére a sorozat feltételeinek monoton csökkenése esetén a következő módszert alkalmazzuk. Tekintsük a kiegészítő funkciót $ f (x) = \ frac> $, meghatározott $ x \ in [0; \, + \ infty) $ (függvény, hogy az $ x = n $ van $ f (n) = \ frac > = a_ $). A tanulmány ezt a funkciót, hogy megtalálják a monotónia származéka: $ f „(x) = \ frac> - \ sqrt >> = \ frac (x + 1)> $. Ez a derivált $ f '(x) 1 $. Következésképpen a $ f (x) = \ frac> $ függvény monotonikusan csökken az x jelzett értékénél. Az $ x = n f (n + 1) = a_ $ beállítása, ahol $ n = 1, \, 2, \, 3, \, 4, \, \. $. Ez azt jelenti, hogy a 2. feltétel teljesül. Annak ellenőrzésére, feltétel 3) találjuk a határ a teljes tagjainak $ a_ $: $ \ mathop \ limits_ \, a_ = \ mathop \ limits_ \ frac> = \ mathop \ limits_ \ frac + \ frac >> = 0 $, azaz a harmadik feltétel teljesül. Így a kezdeti sorozat funkció eleget tesz valamennyi Leibniz körülmények, azaz a konvergál.
Válasz: a $ \ sum \ limits _ ^ \ frac \ cdot \ sqrt> $ tartomány feltételesen konvergál.