Helyezett és a rendszer alapján vektorok

Def. Rangomr rendszer vektorok maximális száma lineárisan független vektor rendszer.

Def. A rendszer alapját vektorok nevezzük maximális lineárisan független alrendszer a rendszer vektorok.

Különösen, bármely halmazának, n lineárisan független vektor n-dimenziós térben az alapja.

Tétel. Bármilyen vektor rendszer egyedileg képviseli, mint egy lineáris kombinációja alapján vektorok a rendszer.

Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a rendszer alapját.

1) Legyen a vektor alapjául (például ez). Aztán.

2) Hagyja, hogy a vektor nem a bázistól. Például, ez egy olyan vektor. ahol p> k.

Tekintsük a rendszer .Ez lineárisan függ. Következésképpen létezik egy számot. nem minden nulla, úgy, hogy. Nyilvánvaló, hogy. mert egyébként az alapja lineárisan függő. majd

3) azt bizonyítják, hogy a bővítés a vektor alapján egyedi.

Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg: két bővítése a vektor alapján:

Kivonva ezeket az egyenleteket, megkapjuk:

Mivel a lineáris függetlensége alapján vektorok, megkapjuk:

Következésképpen a bomlás egyedülálló. ▲

Ligában n-dimenziós térben egyenlő a dimenziója. Tehát bármely alapon áll, n lineárisan független n-dimenziós vektorok. Minden olyan rendszer, n-dimenziós térben, amely több, mint n vektorok lineárisan függ. Bármilyen vektortér lehet egyedileg bontani a vektorok minden alapot. A hőtágulási együtthatók hívják a koordinátákat a vektor ezen az alapon.