Helyezett és a rendszer alapján vektorok
Def. Rangomr rendszer vektorok maximális száma lineárisan független vektor rendszer.
Def. A rendszer alapját vektorok nevezzük maximális lineárisan független alrendszer a rendszer vektorok.
Különösen, bármely halmazának, n lineárisan független vektor n-dimenziós térben az alapja.
Tétel. Bármilyen vektor rendszer egyedileg képviseli, mint egy lineáris kombinációja alapján vektorok a rendszer.
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy a rendszer alapját.
1) Legyen a vektor alapjául (például ez). Aztán.
2) Hagyja, hogy a vektor nem a bázistól. Például, ez egy olyan vektor. ahol p> k.
Tekintsük a rendszer .Ez lineárisan függ. Következésképpen létezik egy számot. nem minden nulla, úgy, hogy. Nyilvánvaló, hogy. mert egyébként az alapja lineárisan függő. majd
3) azt bizonyítják, hogy a bővítés a vektor alapján egyedi.
Tegyük fel, hogy éppen ellenkezőleg: két bővítése a vektor alapján:
Kivonva ezeket az egyenleteket, megkapjuk:
Mivel a lineáris függetlensége alapján vektorok, megkapjuk:
Következésképpen a bomlás egyedülálló. ▲
Ligában n-dimenziós térben egyenlő a dimenziója. Tehát bármely alapon áll, n lineárisan független n-dimenziós vektorok. Minden olyan rendszer, n-dimenziós térben, amely több, mint n vektorok lineárisan függ. Bármilyen vektortér lehet egyedileg bontani a vektorok minden alapot. A hőtágulási együtthatók hívják a koordinátákat a vektor ezen az alapon.