Diagonalizability átalakítás - studopediya
Lineáris transzformáció nevezzük diagonalizable ha van egy alapja, amelyben a lineáris transzformációs mátrix diagonális. Megjegyezzük, hogy alapján, ahol a lineáris transzformációs mátrix diagonális, van kialakítva a sajátvektorok. Ennek az ellenkezője igaz. A alapján sajátvektorok a mátrix lineáris transzformáció diagonális. Nem minden lineáris transzformáció diagonalizable. Például egy lineáris transzformációs mátrixot diagonalizable nem előre meghatározott.
Tétel 7.3. Sajátvektorok megfelelő különböző sajátértékek lineárisan függetlenek.
Bizonyítás. Let - lineárisan független rendszer sajátvektorok megfelelő sajátérték, ahol i = 1, ..., s. Megmutatjuk lineáris függetlenség vektorok indukció s. Az s = 1 az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy igaz s -1. Megmutatjuk, hogy ez igaz s. Tegyük fel, hogy a rendszer - lineárisan függ. Aztán ott vannak az együtthatók nem minden nulla, hogy. Ebből az egyenletből levezetjük vagy. Az indukciós feltevés, minden együttható ebben az egyenletben értéke 0, és így az I Tekintsük azt a kérdést, hogy hány lineárisan független sajátvektor megfelelő sajátértékek. Geometriai multiplicitása sajátérték nevezzük az átalakulás a hiba, és az algebrai multiplicitás nevezzük multiplicitása a gyökér a karakterisztikus polinom. Tétel 7.4. A geometriai sokfélesége nem haladja meg algebrai sokfélesége. Bizonyítás. Hagyja, hogy a geometriai multiplicitása egyenlő k. Mi teljes alapján átalakítsa kernel alapon az egész teret. Ez a lineáris transzformáció alapján mátrix egyenlő, és a karakterisztikus polinom. Így, az algebrai multiplicitás nem kevesebb, mint a geometriai multiplicitása, szükség szerint. Tétel 7.5 Lineáris transzformáció V vektortér egy számmező diagonalizable P, ha, és csak akkor, ha a karakterisztikus polinomja kitágul egy mezőt P lineáris faktorok és algebrai multiplicitása minden gyökér egybeesik annak geometriai multiplicitással.Kapcsolódó cikkek