Az antiderivatív meghatározása és tulajdonságai

Hagyja, hogy a funkció adott időközönként legyen megadva. Ha van ilyen funkció. hogy mindenkinek van egyenlőség

akkor a funkció egy függvénynek antiderivatívnak nevezhető.

Példa 1.1 Vegyünk egy függvényt a teljes számtengelyre - egy intervallumra. Ezután a függvény primitív.

A bizonyítás érdekében megtaláljuk a következő deriváltokat:

Mivel az egyenlőség mindenkinek igaz. akkor - az antiderivatív a.

Hasonló definíciót fogunk adni arra az esetre is, amikor a függvényt nem egy intervallumon, hanem több diszjunktuális intervallumon adjuk meg:

Az antiderivatív funkciónak nevezzük. ha minden egyenlőségre képes.

Az integráció alapvető szabályai.
1. A függvény a különbség jele.

például:

2. A funkció beírása a különbség jele alá.
. hol. azaz az antiderivatív.
például:

[Lássuk az antiderivatív függvényt]
A lényeg:

Az antiderivatív meghatározása és tulajdonságai

Integráció a differenciál jelével

Fontos megemlíteni a különbség legegyszerűbb átalakulásait

Egy meghatározott integrál nem megfelelő összetevőnek nevezhető. ha az alábbi feltételek közül legalább egy teljesül:

Az a vagy b (vagy mindkét határérték) határa végtelen;

Az f (x) függvény egy vagy több megszakítási pontot tartalmaz az [a, b] intervallumon belül.

így definíció szerint. Ha ez a korlát létezik és véges, akkor az integrál konvergensnek nevezhető; Ha a határ nem létezik, vagy végtelen, akkor az integráltnak különbözik.

Egy differenciálegyenlet egy olyan függvény, amely egy funkció deriváltjának értékét a függvényre, a független változó értékeire, a számokra (paraméterekre) vonatkozik. Az egyenletbe belépő származékok sorrendje eltérő lehet (formálisan, nem korlátozódik semmire). A származékok, függvények, független változók és paraméterek különféle kombinációkban juthatnak be az egyenletbe, vagy mindegyik - kivéve legalább egy származék kivételével - egyáltalán nem jelenik meg. Az elsőnél magasabb rendű differenciálegyenletet az első rend egyenletrendszerébe lehet átalakítani, amelyben az egyenletek száma egyenlő az eredeti egyenlet sorrendjével.

Az elválasztott változók egyenlete az alakzat differenciálegyenlete

f (x) dx + g (y) dy = 0

folyamatos f (x) és g (y) függvényekkel.

ahol C egy tetszőleges konstans, meghatározza az egyenlet elválasztott változókkal rendelkező általános integrálját.

Az f (x) egyenlethez tartozó kezdeti feltétel adható y (x 0) = y 0 formában, vagy x (y0) = x0 formában.

Az elválasztó változókkal kapott egyenlet az alak differenciális egyenlete

A funkciók F 1 (x), g 1 (y), f 2 (x), g 2 (y) folyamatos cvoih meghatározó régiók 1 és g (y) 2 f (x) ≠ 0.

Ha az egyenlet mindkét oldalát felosztjuk a g 1 (y) f 2 (x) nem nulla termékkel, akkor egy egyenletet kapunk elkülönített változókkal

Ennek az egyenletnek az általános integrálja az alakja

A Bernoulli-egyenlet az egyik első ismert nemlineáris elsőrendű differenciálegyenlet. Az a formában van írva, ahol a (x) és b (x) folyamatos függvények. Ha m = 0, akkor a Bernoulli egyenlet egy lineáris differenciálegyenlet lesz. Abban az esetben, kogdam = 1, az egyenlet átalakul az egyenlet elkülöníthető változók. Általában, ha m ≠ 0, 1, Bernoulli-egyenlet csökkenti, hogy egy lineáris differenciálegyenlet helyettesítjük új differenciálegyenlet z (x) az a forma és a funkció lehet megoldani leírt módszerekkel oldalon lineáris differenciálegyenlet az elsőrendű.

Találjuk meg az y '- y = y 2 e x egyenlet általános megoldását. A megoldás. Egy adott Bernoulli-egyenlet m = 2, és így teszik a szubsztitúció differenciálás egyenlet mindkét oldalát (y változó tekinthető komplex függvénye x), tudjuk írni: osztani mindkét oldalán az eredeti differenciálegyenlet y 2. Behelyettesítve Z és Z”. Megállapítottuk, hogy lineáris egyenletet kapunk a z (x) függvényhez. Oldjuk meg használatával egy olyan integráló tényező: Az általános megoldás a lineáris egyenlet által kifejezett képlet Visszatérve az y (x), megkapjuk a választ implicit formában: amely szintén írott formában: Megjegyezzük, hogy ha a szétválás a egyenlet y 2 elvesztette a megoldást y = 0. Ennek eredményeképpen a teljes válasz a következőképpen íródott:

Nemhomogén másodrendű differenciálegyenletek állandó koefficiensekkel

A lineáris szerkezete az általános ilyen típusú oldatok inhomogén egyenlet formájában: ahol p. q állandó számok (amelyek lehetnek valódiak vagy összetettek). Minden ilyen egyenletnél leírhatjuk a megfelelő homogén egyenletet. Tétel. Az általános megoldás az inhomogén egyenlet összege az általános megoldás y0 (x) sootvetstvuyushaya homogén egyenlet partikuláris megoldás y1 (x) az inhomogén egyenlet: Itt nézd meg kétféleképpen lehet megoldani inhomogén differenciálegyenletek. Ha a módszer variációs az általános megoldás a kapcsolódó homogén egyenletet y0 ismert, az általános megoldás az inhomogén egyenlet megtalálható módszerével paraméterek változása. Legyen az általános megoldás a homogén másodrendű differenciálegyenlet: állandó helyett C1 és C2 kell tekinteni kiegészítő funkciók C1 (x) és C2 (x). Nézzük ezeket a funkciókat, hogy az oldat kielégíti az inhomogén egyenlet jobb oldali f (x). Ismeretlen függvény C1 (x) és C2 (x) határozzuk meg a rendszer két egyenlet: A módszer a meghatározatlan együtthatók a jobb oldalán az f (x) gyakran inhomogén differenciálegyenlet polinom, exponenciális vagy trigonometrikus függvény, vagy ezek valamilyen kombinációja funkciók. Ebben az esetben, a megoldás sokkal kényelmesebb keresni módszerrel meghatározatlan együtthatók. Hangsúlyozzuk, hogy ez a módszer csak korlátozott osztály műveleteit a jobb oldalon, mint például a

ahol Pn (x) és Qm (x) n és m fokú polinomok. volt.

Mindkét esetben az adott megoldás kiválasztásának meg kell felelnie az inhomogén differenciálegyenlet jobb oldali szerkezetének. Az 1. esetben, ha a szám # 945; az exponenciális függvény egybeesik a jellemző egyenlet gyökerével, akkor az adott megoldás egy további xs faktort tartalmaz. ahol s a gyökér sokasága # 945; a jellemző egyenletben. A 2. esetben, ha a szám # 945; + # 946; i egybeesik a jellemző egyenlet gyökerével, akkor az adott megoldás kifejeződése további x-es tényezőt tartalmaz. Ismeretlen koefficienseket lehet meghatározni azáltal, hogy a konkrét megoldáshoz talált kifejezést az eredeti inhomogén differenciálegyenletre helyettesítjük. A szuperpozíció elve Ha a jobb oldalon az inhomogén egyenlet összege több funkció az adott megoldás a differenciálegyenlet lesz az összege egyedi megoldásokat, beépített külön-külön kifejezés a jobb oldalon.