A skaláris szorzata két vektor
16: dot termék Két vektor egy szám. egyenlő a termék hosszának ezen vektorok által koszinusza a köztük lévő szög:
5 Tétel két vektor merőleges, ha, és csak akkor, ha azok dot termék nulla.
Belátjuk ez a tétel.
Let. majd a köztük lévő szög. Számoljuk és helyettesíti azt a képlet skalár szorzata vektorok, kapjuk:
Így bebizonyították, hogy ha a vektorok merőleges, akkor a skalár szorzat nulla.
Belátjuk az ellenkezője: ha a skalár szorzat értéke nulla, akkor a vektorok merőleges:
Mivel :. mert vektorok eltér a nulla vektor, majd. Azzal a feltétellel. QED.
A tulajdonságok a skalár termék:
1. (kommutatív jog)
2. (asszociatív törvény)
3. (disztributív törvény)
4. (egy négyzet dot képlet)
Tétel 6 skaláris szorzata két vektor az összegével egyenlő a termékek saját koordinátáit:
Hogyan lehet ezt a képletet?
Feladat: 1) Igazoljuk, hogy a vektorok merőleges.
Megoldás: Az ismert állapot koordinátáit vektorok: By 6. Tétel találunk a belső termék, megkapjuk.
2) Find közötti szög a vektorok
Megoldás: A egy képlet következménye 6. Tétel:
Definíció 17: A vektor termék a két vektor az úgynevezett vektor. kielégíti az alábbi feltételeket:
1. A hossza a vektor egyenlő a termék hosszának a vektorok és a szinusz a köztük lévő szög:
3. vektorok. és így egy jobb három vektor.
Rendeltetése vektor termék vagy.
A meghatározás magában foglalja:
1. A hossza a vektor termék megegyezik a terület a paralelogramma kialakított egy adott közös eredet vektorok és:
2. ha a vektorok és egy egyenesbe esik, a vektor termék nulla. Ennek az ellenkezője igaz.
Vektor termék tulajdonságai:
Tétel 7 Ha a koordinátákat a vektorok adottak, akkor
Van is egy vegyes termék vektorok vegyes termék vektorok hívott szám képlet határozza meg:
Kérdések ellenőrzési ismeretek:
1. Adj egy meghatározást egy vektor.
2. Mi az úgynevezett vektor nulla? Egyetlen?
3. Adja meg a meghatározása az egyenlő vektorok.
4. Mi az úgynevezett vektor hosszát?
5. Vektor, és azonos hosszúságú. Igaz, hogy ezek a vektorok egyenlő?
6. Az AB és CD szakaszok tartoznak párhuzamos vonalak. hogy a vektorok egyenlő és?
7. Melyik fizikai mennyiségek vektor: a) a hőmérséklet; b) sebesség; c) tömeg; g) a sűrűsége az anyag; d) a gyorsulás; f) a területen; g) teljesítmény?
8. Mi az úgynevezett kollineáris vektor?
9. Igaz, hogy a nulla vektor kollineáris bármely vektor a gépen?
10. Ismeretes, hogy. Mondhatjuk, hogy a vektorok és kollineárisak?
11. Mit lineáris műveleteket lehet végrehajtani a vektorok?
12. Definiálja az összeg két vektor.
13. Határozza meg a különbséget a két vektor.
14. Az összege a két vektor egyenlő a nulla vektor. Hogy hívod ezeket a vektorokat?
15. Határozza meg a koncepció egy lineáris kombinációja vektorok.
16. Mi a feltétele lineáris függését vektorok?
17. Mi a feltétele annak, lineáris függetlenség vektorok?
18. Mi a neve alapján a gépen?
19. Fogalmazza meg a koncepció vektor koordinátáit.
20. Fogalmazza meg a szabályokat összeadás, kivonás, szorzás száma vektorok koordináta módon.
21. Köztudott, hogy a. Mit tudsz mondani a vektorok és?
22. Hagyjuk a koncepció a sugár vektor.
23. Fogalmazza általában megtaláljuk a vektor koordinátáit.
24. Mi a vektor hosszát?
25. Az úgynevezett skalár szorzata vektorok?
26. Fogalmazza állapotának merőlegességének két vektor.
27. Két vektorok által adott koordinátákat. Hogyan lehet megtalálni a szöget a két vektor közötti?
28. Igaz, hogy az következik: 1) és az egyenesre; 2); 3), és ugyanabba az irányba; 4) és egymással ellentétes irányú; 5); 6); 7)?
29. Amennyiben a egyenlőség = egyenlőség =?
30. Mi a relatív pozíciója pont A, B és M és ha a vektorok és kollineárisak?
31. Mely feltételeket kell felelniük vektorok. a vektor + kétfelé osztjuk, és az a szög között vektorok?
32. Meg kell irányítani vektorok. a hossza amelyekről ismert, hogy a vektor hossza van: 1) a maximális; 2) minimális?
33. Igaz, hogy minden vektor és érvényes egyenlőtlenségek
34. Milyen feltételeket kell felelniük vektorok. hogy a következő összefüggések:
35. Nem a kollineáris vektor és. ha kollineáris vektor?
36. milyen értékeket k vektor hossza. 1) egyenlő a vektor hosszát; 2) nagyobb, mint a vektor hossza; 3) kisebb, mint a vektor hossza; 4) nullával egyenlő?
37. elrendezve M pont, A és B, ha:
38. Az, hogy a szög a vektorok egyenlő 270 °; 180 °; 0 °; 45 °?
39., amely intervallum az a szög között a vektorok és a. ha: 1); 2) 1)?
40. Milyen hosszú az AB szakasz, mikor?
41. Hogy a vonalak az AB és AC, ha;
42. Amennyiben az egyenletet. ahol - egység vektor, vektorok és az egyenlőség?
43. Vajon vektor a sík és ha egyenlőség: bármely vektorok; 2) a két merőleges vektor?
44. Mi képezi a szög vektor vektor 1); 2)?
45. lehet vektor teret az x tengelyen 30 ° -os szöget, a Z tengely és az a szög a 45 °?
46. Melyik pont az A (2; 5), B (3; 2), C (-4, 1), D (1; -2): 1) legtávolabb az X tengely; 2) legközelebb az y tengelyhez; 3) a második negyedben; 4) a negyedik negyedévben?
47. milyen értékei egy pont A (3; 2) és B (x-1) található: 1) egy egyenes vonal párhuzamos az Y tengellyel; 2) ugyanazon a távolság a y-tengely?
48., amelyeknek az értékei a vektor m (2; m) egyenlő a vektort (2, 1 / m)?
49. Milyen k érték vektor (k; 0) kollineáris vektor (0, k)
50. Vajon vektorok egyaránt merőleges?
51. illeszkedhet egy sorban, ha a pont (3, -7), (-5, 4), (27, -40)?
52. Akár párhuzamos, egyenes vonalak halad végig, pontok (1, -1), (2, 1) és a (3, 5), (-1, -3)?
Gyakorlatok resheniya-
1. a csúcsai a paralelogramma-pontok az A, B, C, D. szükséges: 1) meghatározzuk a nulla vektorok megfelelnek ezeken a pontokon; 2) megtalálja a pár kollineáris vektorok; 3), hogy megtalálja az összes pár nemkollineáris vektorok.
2. Hajtsa a vektor alap vektorok és kap a hossza, ha A (1, 3), B (4; 2). Melyek a koordinátáit?
3. Tekintettel az vektorok. Talált: 1); 2); 3); 4); 5).
4. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert vektorok, és megtalálja a hosszát. Számítsuk közötti szög ezen vektorok.
5. adott négy pont: A (-3; -1), a B (1; 3), C (5, 0) és a D (3; 4). Vannak vektorok és egyenlő? A válasz megmagyarázni.
6. Építőanyag vektorok. ha A (2; 3), B (-4; -1). Bizonyítsuk be, hogy ezek a vektorok nem esik.
7. Keresse meg a szög a vektorok és. Ha az egység vektorok és a köztük lévő szög van 0 és 120.
8. épített egy derékszögű koordináta-rendszert, a ABC háromszög csúcsai A (1, 4), B (-5, 0), C (2, 1), és kiszámítja a medián hossza a VM. Keresse bővítése a vektor vektorok és. Fektesse a vektor alapján.
9. megtalálni azt a pontot a Oy tengelyen, egyenlő távolságra pont az A (6; 12) és B (-8; 10).
10. pont C (3; 5) osztja a szegmens AB a kapcsolatban. Keresse meg a szegmens elején, ha B (-1, 1).
11. Find az M pont, egyenlő távolságra tengelyei koordináták és az A pont (-4, 2).
12. Find az M pont, amelynek távolsága az abszcissza a pont (-2, 4) 10.
13. Bizonyítsuk be, hogy az A, B, C, D - paralelogramma csúcsait, ha ismert, hogy azok nem fekszenek egy sort, és a nem nulla vektor egyenlő.
14. Tekintsük ABCD paralelogramma. Az M pont fekszik az oldalán a CD-t. Keresse meg az összeget a vektorov6
1); 2); 3); 4).
15. A rakomány leereszkedik ejtőernyővel sebességgel. A szél hordozza azt az oldalán a sebességet. Hogy milyen szöget zár be a függőleges terhelés megy le, ha
16. Legyen Mintegy - a metszéspontja az átlók az ABCD paralelogramma. Keresse x, ha:
17. Igazoljuk, hogy a hossza a vektorok egyenlő, ha és vektorok - merőleges.
18. Dan ABC derékszögű háromszög az oldalsó 2. Az M és N pontok - felezőpontja az AB oldalára és BC. Keresse skalár szorzata vektorok:
19. megtaláljuk a koordinátákat a vetülete az A pont a koordinátatengelyeken, ha A jelentése (2, -1).
20. Dan vektor (-1, -2). Keresse meg a pont koordinátáit B, ha tudjuk, pont koordinátái A:
21. Nem a kollineáris vektor:
1) (1, 2) és a (-2, -4); 2) (1; 1; 2) és a (2, 2, -4);
3). ha A (8; -2), B (3; 4), C (11; 7), D (-21; 19)?
22. Számítsuk ki a dot termék két vektor:
1) (-2, 3) és a (3, 4); 2) (1), és (2);
3). ahol A (-2; 4); B (3; -6), C (5; 3);
23. merőleges vektorok:
1) (-2, 3) és a (-1, 2); 2) (4, -1) és a (3; 12);
24. Keresse meg a vektor hosszát:
3). ahol A (1, 3) és a B (-2; 0);
25. Keresse meg a szög a vektorok:
1) (1; 1), és; 2) (1; 1), és;
26. keresése ABC háromszög kerülete, és a nagysága a sarkait, ahol: A (6; 7), a B (3, 3), G (1, 5).
27. megtaláljuk a koordinátákat a középpontját a szegmens AB, ahol: 1) Egy (-4, 3), B (-2, 5); 2) A (-4, 3), B (-2, 5).
Dan 28. A szegmens végei (1, -3) és B (31; 17). Határozza pontok koordinátáinak a szegmens elosztjuk azt: 1) a felét; 2) három egyenlő részre; 3) hat egyenlő részre.
29. Keresse meg a koordinátákat a végpontok, a kik koordinátatengelyeken, ha középen van a lényeg:
1) Mivel két vektor: u. Szükséges:
a) vektorok;
b) kiszámítja a területet a paralelogramma kialakított ezen vektorok;
c) megtalálja az összeg és vektoros különbözeti adatot;
d) kiszámítja a hossza az egyes vektor;
e) meghatározzuk a koordinátákat a vektor, a vektort kollineáris és amelynek a hossza háromszor nagyobb, mint a hossza a vektor.
2) Adott egy ABC háromszög: A (-5, 3), B (1; 4), C (3, -1). A háromszög épített medián AK. Szükséges:
a) hogy megtalálják a terjeszkedés a vektor vektorok és;
b) elbomlik alapján vektorban.
1) két vektor kapnak. M (-2, 3), N (2; 1), K (-1, 2), F (4, -2). Szükséges:
a) vektorok;
b) megtalálja az összeg és a vektor különbözeti adatot;
c) meg a hossza minden vektor;
d) meghatározzuk a koordinátákat a vektor merőleges a vektor és ponton áthaladó (1; 4);
e) megtalálják a skalár szorzata vektorok.
2) Adott egy ABC háromszög: A (-5, 3), B (1; 4), C (3, -1). beépített AD magasság háromszög. Szükséges:
a) hogy megtalálják a terjeszkedés a vektor vektorok és;
b) elbomlik alapján vektorban.