trigonometrikus függvények
trigonometrikus függvények # 150; az egyik elemi funkciókat.
A függvény az y = cos x. Ha össze egy egységet kört origó középpontú, és állítsa egy tetszőleges értéket az érvelés, és számolni x0 Ox szög x0, akkor ez a szög az egység kör felel meg egy A pontot (ábra. 1), és a vetítés az x-tengely egy M pont. A hossza a szegmens OM egyenlő az abszolút értéke az abszcissza A. pontja adott érték X0 van leképezve értéke függvényjel y = cos x0, mint az abszcissza A. pontban Ennek megfelelően a B pont (X0; y0) tartozik a függvény grafikonját y = cos x (2. ábra). Ha pont az, hogy a jobb oldali y tengelyen, akkor a koszinusz pozitív, ha a bal # 150; negatív. De minden esetben, a pont nem hagyhatja el a kört. Ezért koszinusz között fekszik # 150; 1-től 1:
További forgási bármilyen szögben a 2 többszöröse p. Egy pont visszatér ugyanarra a helyre. Ezért, a függvény az y = cos x periodikus, időtartama egyenlő 2 o.
Ha veszünk két érték az az érv, egyenlő nagyságú, de ellentétes előjelű, x, és # 150; x, megtalálni a megfelelő pontot a kerületen balta és egy eltávolítható. Amint az ábrán. 3. a nyúlvány az x-tengelyen az ugyanazon a ponton M. ezért
Ennélfogva, lehetséges, hogy vizsgálja a tulajdonságait a függvény az y = cos x a [0, p], majd a figyelembe vételére periodicitás és a paritás.
Amikor x = 0, az A pont fekszik a tengelyen Ox és abszcissza értéke 1, és így cos 0 = 1. A növekvő x pont mozog körkörösen felfelé és balra, a vetítés, természetesen, csak a bal, és amikor X = p / 2 koszinusz 0 lesz pont ezen a ponton merül fel a maximális magasságot, majd tovább halad a bal oldalon, de csökken. A abszcissza az összes addig csökken, amíg el nem éri a legkisebb érték egyenlő # 150; 1, ha X = p. Így a [0, a] függvény az y = cos x monoton csökken 1-től # 150 1 (4. ábra, 5.).
Paritástól koszinusz következik, hogy a intervallumon [# 150; o. 0] funkció növeli monoton # 150, 1 1, figyelembe véve a nulla értéket, amikor X = # 150; p / 2. Ha az előírtnál több periódusban, hogy egy hullámos görbe (6.).
Így, az y = cos x veszi érték nullával x = p / 2 + k p, ahol k # 150; bármilyen egész szám. Maxima egyenlő 1, vannak elért pontok X = 2k p. azaz 2. lépés p. és legalább egyenlő # 150; 1, x = p + 2k p.
A függvény az y = sin x. A készülék körhöz sarokban x0 megfelel az A ponthoz (ábra. 7), és annak vetülete az y-tengelyen fog mutatni N. W Az y 0 = sin x0 úgy definiáljuk, mint az ordináta az A. pontban B pont (szög x0, y0) tartozik a függvény grafikonját y = sin x (ábra. 8). Nyilvánvaló, hogy a függvény az y = sin x időszakos, időtartama egyenlő 2 o.
Két argumentum értékek az x és # 150; Az előrejelzések megfelelő pontokat, A és X A -x az y-tengelyen elhelyezve szimmetrikusan a ponton O. Ezért
azaz szinusz # 150; páratlan függvény, F (# 150; x) = # 150; f (x) (9. ábra).
Ha a turn pont képest o pont a p / 2, a szög az óramutató járásával ellentétes (más szóval, ha a szög X, hogy növelje a p / 2), akkor annak ordináta pedig az új helyzetben megegyezik a régi abszcisszán. Ez azt jelenti, hogy
Ellenkező esetben a szinusz # 150; a koszinusza „megkésett” p / 2, mivel minden érték koszinusza „Repeat” a sinus, amikor az az érv növekszik p / 2. És annak érdekében, hogy össze egy grafikont a szinusz, koszinusz elegendően műszak ütemezés p / 2 jobbra (ábra. 10). Rendkívül fontos jellemzője fejezi ki a szinusz
A geometriai jelentése egyenlőség látható ábrán. 11. Itt x # 150; Ez a fele AB ív és sin # 150; felének megfelelő húrt. Nyilvánvaló, hogy a konvergencia A és B pont a húrt hossza az összes, vagy inkább közel az ív hosszát. Az azonos szám könnyen eltávolítani az egyenlőtlenséget
Képlet (*) matematikus hívja figyelemreméltó limit. Belőle, különösen az következik, hogy sin x „x kis x.
Funkció tg = x, y = CTG x. Két másik trigonometrikus függvények # 150; érintő és kotangensét legegyszerűbb módja annak meghatározására, milyen a kapcsolat már ismerjük, a szinusz és koszinusz:
Ahogy a szinusz és koszinusz, tangens és kotangens # 150; periodikus függvények, de időszakok p. azaz ők kétszer kevesebb, mint a szinusz és koszinusz. Ennek az az oka világos: ha a szinusz és koszinusz a két megváltoztatni a jele, a hozzáállás nem változott.
Mivel a tangense a nevező a koszinusz, tangens, hogy nem határozza meg a pontok, ahol a koszinusz értéke 0, # 150; ha x = p / 2 + k p. Minden más pontokon növeli monoton. Direct X = p / 2 + k p pedig érinti függőleges aszimptotákkal. A pontok k p és érintőleges meredeksége a 0, illetve 1 (ábra. 1 2).
Kotangensét nem határozza meg, ahol a szinusz értéke 0 (ha x = k p). A többi pont ő monoton csökkenő, és a vonalak X = k p # 150; függőleges asymptote. A pontok X = p / 2 + k p kotangensét 0 lesz, és a lejtő ezeken a pontokon egyenlő # 150; 1 (13.).
Paritás és gyakoriság. A funkció az úgynevezett akkor is, ha f (# 150; x) = f (x). Funkció cosinus és metsző # 150; egyenletes és szinusz, tangens, kotangens és koszekáns # 150; páratlan funkció:
sin (- # 945;) = - sin # 945;
tg (- # 945;) = - tg # 945;
Csökkentési képletben. E szerint a képlet, az értéke a trigonometrikus függvények az érvelés a. ahol p / 2 februárban # 150; sin 2 a = 2 cos 2 # 150; 1 = 1 # 150; 2 sin 2 a;
3 sin a = 3 sin a # 150; Sin 4 3 a;
cos a = 3 4 cos 3 a # 150; 3 cos a;
A képlet cos 3 használatával François Viète megoldására harmadfokú egyenletek. Először jutott kifejezésre cos n a és sin n a. amely később kaptunk egy egyszerűbb módon a Moivre képletű.
Ha a képletekben a kettős érv helyettesíti a / 2, akkor átalakíthatjuk képlet fél szögek:
Formula univerzális cserélni. Ezen képlet, egy expressziós olyan különböző trigonometrikus függvények egy és ugyanazon érv lehet írva, mint egy racionális kifejezés az egyik funkció TG (a / 2), hasznos lehet megoldásában bizonyos egyenletek:
Az átalakulás képletek mennyiségben és munkadarabok összeget. Mielőtt a számítógépek megjelenésével ezek a képletek volna használni, hogy egyszerűsítse a számításokat. Számításokat végeztünk a logaritmikus asztal, és ezt követően # 150; logarléc, mint logaritmusok legalkalmasabbak a szorzás a számok, így minden az eredeti kifejezés vezetett forma kényelmes logaritmálás, azaz műveit, például:
2 sin a sin b = cos (a # 150; b) # 150; cos (a + b);
2 cos a cos b = cos (a # 150; b) + cos (a + b);
2 sin a cos b = sin (a # 150; b) + sin (a + b).
Képlet érintője és kotangensét funkciókat lehet beszerezni a fenti.
Leengedése a képlet. Képletek több alapuló érvek képletű:
sin 2 a = (1 - cos 2 a) / 2;
2 cos a = (1 + cos 2 a) / 2;
Minden trigonometrikus függvény minden pontján saját domain meghatározás folyamatos és végtelenül differenciálható. És ahol a származékok trigonometrikus függvények trigonometrikus függvények, és integrálásával kaptunk ugyanazon a trigonometrikus függvények, illetve azok logaritmus. Integrálok racionális kombinációi trigonometrikus függvények mindig elemi függvények.
Képviselete trigonometrikus függvények, energetikai sorozat és végtelen termékeket. Minden trigonometrikus függvények bővíthető hatványsor. A funkciók sin x cos b x képviseli sorozat. konvergens minden x értékei.
Ezek a sorozatok lehet használni ahhoz, hogy közelítő kifejezést sin x és cos X a kis értékei esetén x.
a | x | IZ által kifejezett cos z sin Z és a képlet:
Ezek a képletek nevezzük Euler-képlet. Leonhard Euler hozta őket 1743-ban.
Trigonometrikus függvények is kifejezhető hiperbolikus függvények:
Z = # 150; i sh iz. cos z = CH iz, Z = # 150; i-edik iz.
ahol SH, CH és th # 150; hiperbolikus szinusz, koszinusz és tangens.
Trigonometrikus függvények komplex változó z = x + iy. ahol x és y # 150; A valós számok lehet kifejezni trigonometrikus és hiperbolikus függvények valós érvek, például:
Szinusz és koszinusz egy komplex érv, hogy valós értékeket, amelyek meghaladják az 1. nagyságrendű. Például:
Ha egy ismeretlen szög számításba kell venni érvként trigonometrikus függvények, akkor az egyenlet az úgynevezett trigonometrikus. Az ilyen egyenletek olyan gyakoriak, hogy azok a megoldások nagyon részletes és gondosan megtervezett. Különböző technológiai módszerekkel és képletek trigonometrikus egyenletek csökkenti, hogy az egyenletek az f (x) = a. ahol f # 150; bármely elemi trigonometrikus függvények: szinusz, koszinusz, tangens és kotangens. Ezután kifejezni az érvelés x egy függvény révén jól ismert jelentését.
Mivel a trigonometrikus függvények periodikus, ugyanaz, mint egy értéktartomány megfelel egy végtelen számú érték az érvelés, és az oldatot az egyenlet nem lehet leírni, mint egy funkciója. Ezért meghatározó egyes főbb funkcióit trigonometrikus elszigetelt régióban, ahol megkapja az összes értékeit, minden alkalommal, és megtalálja az inverz függvény azt ezen az oldalon. Ezek a funkciók jelöljük tulajdonított előtag ív (arc) a neve az eredeti funkcióját, és az úgynevezett inverz trigonometrikus függvények, vagy csak arkfunktsiyami.
Inverz trigonometrikus függvények. Mert sin x, cos x, tg ctg x és x meghatározható inverz függvények. Ezek jelölik arcsin x (ejtsd „Arkuszszinusz x») arcos x. arctg X és arcctg x. A definíció szerint ARCSIN x egy szám, hogy
Hasonlóan a többi inverz trigonometrikus függvények. De ez a meghatározás szenved valamilyen pontatlanságot.
Ha tükrözik sin x, cos x, tg ctg x és x tekintetében a felezővonal az első és a harmadik negyedet a koordinátasíknak, akkor a funkciók miatt periodicitás összekeverjük, ugyanaz szinusz (koszinusz, tangens, kotangens) megfelel a végtelen számú szögek.
Ahhoz, hogy megszabaduljon a kétértelműség az ütemezés minden trigonometrikus függvény allokált részét a görbe szélessége P. így szükség van a között az érvelés és a funkció van beállítva az egy-egy levelezés. Kiválasztott oldalak origó körül. Sinus, mint „kölcsönös egyértelműség intervallum” készítették intervallum [# 150; p / 2, p / 2], ahol sine monoton növekszik a # 150, 1: 1, a koszinusz # 150; [0, p], a tangens és kotangens rendre időközönként (# 150; p / 2, p / 2) és a (0, p). Mindegyik görbe tartományban tükröződik a felezővonal és most már meghatározott inverz trigonometrikus függvények. Tegyük fel például, az érv van beállítva, hogy X0, hogy x0 £ 0 £ 1. Aztán az értéket a függvény y0 = arcsin X0 Y0 egyetlen érték, oly módon, hogy # 150; p / 2 J J y0 p / 2 és x0 = sin y0.
Így, arkusz szinusz # 150; függvényében ív vétkezik, meghatározott intervallumon [# 150; 1, 1] és egyenlő minden ilyen értéke, mint egy, # 150; p / 2 n arcsin a + 2 p n.
ahol n = 0, ± 1, ± 2.
Csak megoldható más egyszerű trigonometrikus egyenletek:
ahol n = 0, ± 1, ± 2 (1. ábra 6).