Megoldás lineáris algebrai egyenletrendszert segítségével a fordított mátrixba
Megoldás Lineáris algebrai egyenletek (SLAE), inverz mátrix (nevezik a módszert több mátrix módszer vagy az inverz mátrix módszer) ismeretét igényli a koncepció, hogy a mátrix formában SLAE felvételt. az inverz mátrix módszer megoldására a rendszerek lineáris algebrai egyenletek, ahol a mátrix a-rendszer meghatározó nem nulla. Természetesen, ezt úgy kell értelmezni, hogy a mátrix négyzet rendszer (determináns koncepciója létezik, csak négyzet mátrixok). A módszer lényege az inverz mátrix lehet kifejezni három pontot:
- Vedd három mátrixok: a mátrix rendszer $ a $, az ismeretlen mátrix $ X $, a mátrix abszolút értelemben $ B $.
- Találja meg az inverz mátrix $ A ^ $.
- A egyenlőség $ X = A ^ \ cdot B $ megszerezni az oldatot adott Slough.
Bármilyen lineáris rendszerek felírható mátrix formában, mint a $ A \ cdot X = B $, ahol $ A $ - mátrix a rendszer, $ B $ - mátrixa abszolút értékben, X $ $ - mátrix az ismeretlenek. Hagyja, hogy a mátrix $ A ^ $ létezik. Szorozzuk mindkét oldalán az egyenlet $ A \ cdot X = B $ a mátrixban $ A ^ $ bal:
$$ A ^ \ cdot A \ cdot X = A ^ \ cdot B. $$
Mivel $ A ^ \ cdot A = E $ ($ E $ - identitás mátrix), az egyenlet fentebb leírt lesznek:
Mivel $ E \ cdot X = X $, akkor:
Mielőtt olvasni a példák azt javasoljuk, hogy megismerjék az kiszámításának módszereit inverz mátrixok az itt meghatározott.
Problémák a lineáris rendszerek $ \ left \<\begin & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end \right.$ с помощью обратной матрицы.
Írunk a mátrix rendszer $ A $, a mátrix abszolút értelemben $ B $, és a mátrix ismeretlenek $ X $.
Találunk egy inverz mátrixot a mátrix rendszer, azaz a Kiszámoljuk az $ A ^ $. Példa №2 az oldalon elkötelezett, hogy megtalálják az inverz mátrix inverz mátrix már nem találtak. Mi használjuk a kész eredményt, és írja le $ A ^ $:
Most helyettesíti mindhárom mátrixban ($ X $, $ A ^ $, $ B $) az egyenletben $ X = A ^ \ cdot B $. Ezután hajtsa mátrix szorzás a jobb oldalon az egyenlet.
Így van az egyenlőség $ \ left (\ begin x_1 \\ x_2 \ end \ right) = \ left (\ begin -3 \\ 2 \ end \ right) $. Ebből az egyenletből kapjuk: $ x_1 = -3 $, $ x_2 = 2 $.
Problémák a lineáris rendszerek $ \ left \ x_1 + 7x_2 + 3x_3 = -1; \\ -4x_1 + 9x_2 + 4x_3 = 0; \\ 3x_2 + 2x_3 = 6. \ End \ right. $ Inverz mátrix.
Írunk a mátrix rendszer $ A $, a mátrix abszolút értelemben $ B $, és a mátrix ismeretlenek $ X $.
$$ A = \ left (\ begin 1 7 \\ 3 -4 9 4 \\ 0 3 2 \ end \ right) \; B = \ left (\ kezdődik -1 \\ \\ 0 6 \ end \ right); \; X = \ left (\ begin x_1 \\ \\ x_2 x_3 \ end \ right). $$
Most volt a sor, hogy megtalálják az inverz mátrixot a mátrix rendszer, azaz a megtalálni $ A ^ $. Példa №3 az oldalon elkötelezett, hogy megtalálják az inverz mátrix inverz mátrix már nem találtak. Mi használjuk a kész eredményt, és írja le $ A ^ $:
$$ A ^ = \ frac \ cdot \ left (\ kezdődik 6 -5 1 \\ 8 2 \\ -16 -12 -3 37 \ end \ right). $$
Most helyettesíti mindhárom mátrixban ($ X $, $ A ^ $, $ B $) az egyenletben $ X = A ^ \ cdot B $, majd hajtsa végre a mátrix szorzás a jobb oldalon az egyenlet.
$$ \ left (\ begin x_1 \\ \\ x_2 x_3 \ end \ right) = \ frac \ cdot \ left (\ begin 6 -5 1 \\ 8 2 \\ -16 -12 -3 37 \ end \ right) \ cdot \ left (\ kezdődik -1 \\ \\ 0 6 \ end \ right) = \\ = \ frac \ cdot \ left (\ kezdődik 6 \ cdot (-1) + (- 5 ) \ cdot 0 + 1 \ cdot 6 \\ 8 \ cdot (-1) +2 \ cdot 0 + (- 16) \ cdot 6 -12 \\ \ cdot (-1) + (- 3) \ cdot 0+ 37 \ cdot 6 \ end \ right) = \ frac \ cdot \ left (\ kezdődik 0 \\ - \\ 104 234 \ end \ right) = \ left (\ kezdődik 0 \\ - \\ 4 9 \ end \ right ) $$
Így van az egyenlőség $ \ left (\ begin x_1 \\ \\ x_2 x_3 \ end \ right) = \ left (\ begin \\ 0-4 9 \\ \ end \ right) $. Ebből az egyenletből kapjuk: $ x_1 = 0 $, $ x_2 = -4 $, $ x_3 = $ 9.
Természetesen, a megoldás a rendszerek lineáris egyenletek felhasználásával az inverz mátrix használata nélkül speciális szoftverek, mint a Mathcad csak akkor lehetséges, viszonylag kis számú változót. Ha SLAE négy vagy több változó, ez sokkal kényelmesebb ebben az esetben alkalmazzák a Gauss-elimináció vagy Gauss-Jordan módszer.