Sík és egyenes a térben
Home | Rólunk | visszacsatolás
3.1. A felület egyenlete az űrben.
A pont pozíciója a térben határozza meg a három koordinátát.
Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszer az űrben egy három merőleges egyenesek Ox. Oy. Oz. ellátott mérlegek és irányban. Ezek a vonalak nevezik koordinátatengelyeken. M0 pont koordinátái (x0, y0, z0) a koordinátákat az úgynevezett merőlegesek csökkent ezen a ponton a koordináta tengelyen.
Egyenlet felülete (a kiválasztott koordináta-rendszer) egy egyenlet három változóval F (x, y, z) = 0, ami kielégíti a koordinátáit minden egyes pont a felületen, és csak azokat.
3.2. Plane az űrben.
Az m0 sík átmegy a ponton (X0, Y0, Z0) = merőleges a vektor (A, B, C). Ezek a feltételek meghatározzák egyedi sík térbeli Oxyz. A vektort nevezzük normálvektora a gépet. A tetszőleges pont a sík M (x, y, z) ( «aktuális pont") vektorok = (x-x0, y-y0, Z-z0) és legyen merőleges. ezért
a belső termék ezen vektorok nulla, azaz a (.) = 0. Az így kapott egyenlet képviseli a koordináta formájában:
(18) egyenlet képviseli az a sík egyenletét. merőleges, az adott vektort = (A, B, C), és áthalad egy adott pont M0 (x0, y0, z0) (ábra. 9).
16. példa létrehozása a sík egyenletét ponton áthaladó M0 (-1,0,2), és merőleges a vektor = (2,5, -1).
Határozat. Keresek egyenlet 2 (x + 1) +5 (y- 0) -1 (Z- 2) = 0. # 9632;
A sík egyenlete írott formában
Ax + by + Cz + D = 0 (19)
(Ahol D = - Ax0- By0- Cz0), az úgynevezett általános egyenlete egy sík. Így, az előző példában, az egyenlet felírható a formában 2x + 5Y-z + 4 = 0.
Megjegyzés. Bármilyen egyenletet forma (19) (ahol legalább az egyik szám AV C nem egyenlő nullával) meghatároz egy síkot a térben, és fordítva, bármely síkban egyenlet egyenlet az első fokú.
Megjegyezzük, hogy egyenlet (.) = 0 lehet alkalmazni, hogy a sík egyenlete O a tér által meghatározott három pontot M1 (x1, y1, z1), M2 (x2, y2, z2), M3 (x3, y3, z3), és nem hazudik ugyanazon a vonalon. Tehát, figyelembe = normál vektor - vektor terméket. valamint a pont M0 M1. megkapjuk
ami egy egyenletet a sík formájában meghatározó:
Különösen, ha a sík nem halad át a származási és metszi a koordinátatengelyek a pontokon M1 (a, 0,0), M2 (0, b, 0), M3 (0,0, c), akkor a (20) egyenletben csökkenti a elme
az úgynevezett a sík egyenletét „darabokban”.
Mi a következő figyelembe a speciális esetben, ha a sík egyenlete.
Ha D = 0, az egyenlet ax + by + Cz = 0 meghatároz egy síkot, az origón áthaladó. Egyéb speciális esetekben határozza meg a helyét a normál vektor = (A, B, C). Például, ha a = 0, akkor az egyenlet By + Cz + D = 0 meghatároz egy síkot, a tengellyel párhuzamos Ox (Ox és haladnak át a tengelyen, ha D = 0.); ha A = B = 0, akkor egyenlet Cz + D = 0 meghatároz egy sík párhuzamos síkban Oxy (különösen, z = 0 - egyenlet önmagában Oxy sík).
A diéderes két sík között. mivel azok általában egyenletek
szög j értéke 0 és p; egy másik diéderes által bezárt szög két egymást metsző síkok p -j.
17. példa Find közötti szög által meghatározott síkokon egyenletek 3x-y- 2Z + 250 = 0, és X -2y + z -111 = 0.
Határozat. Find a koszinusza közötti szög a normál vektorok = (3, -1, -2) u = (1, -2,1):
Itt J = arccos. Egy másik diéderes szög 180 ° -71 ° = 109 °. # 9632;
Két adatok sík (22) merőleges, ha, és csak akkor, ha azok a normál vektor = (A1, B1, C1) = és (A2, B2, C2) merőlegesek egymásra, a skalár termék (.) = 0 vagy = 0. Például, a gép 3x -y + 2z -31 = 0, és 5x + 3y -6z + 1 = 0 merőleges óta 3 × 5 + (- 1) × 3 + 2 × (-6) = 0. Két sík párhuzamos az adatok akkor és csak akkor, ha a normál vektor és egy egyenesen vannak, azaz ha a feltétel.
18. példa létrehozása a sík egyenletét ponton áthaladó M0 (1, -1,0) és párhuzamos azzal a síkkal 2x + 3y- 4Z -1 = 0.
Határozat. Mivel a párhuzamos síkokban azonos normál vektor = (2,3, -4), majd a kívánt egyenlet 2 (x-1) +3 (y + 1) -4 (Z- 0) = 0, vagy 2x + 3y- 4Z + 1 = 0. # 9632;
3.3 [kivéve PMT], közvetlen vonal a térben.
A vonal a tér által meghatározott közös hozzárendelését két egyenlet F (x, y, z) = 0, F (x, y, z) = 0, mint a metszéspontja a két felület által meghatározott ezen egyenletek.
Így egy sor térben lehet meghatározni, mint a sorban a kereszteződés két sík, azaz A pontok halmaza felel meg a rendszer
Egyenletek (24) nevezzük kanonikus egyenletek egy egyenes vonal a térben.
19. példa létrehozása egyenes egyenletéből M0 ponton áthaladó (1, -1,3) és az M1 (0,3,5).
Határozat. A egyenletek (24), figyelembe, mint az irányvektor = (0-1,3 - (- 1), 5-3), vagy = (-1,4,2):
A bemutató halmazelmélet fogjuk betartani az úgynevezett intuitív szempontból, amely szerint az ilyen fogalmakat, mint a „set”, „egy elem” kifejezés az eredeti elképzelések a matematika, és ezért nem lehet megállapítani.
A koncepció a készlet érintjük, különösen akkor, ha bármilyen okból, össze bizonyos tekintetben az azonos csoportba tartozó egyes objektumok és megfontolja ezt a csoportot, vagy állítsa egészére.
A készletek általában jelöljük tőke latin betűkkel. Tárgyak, amelyek készletet alkotnak, az úgynevezett halmaz elemeit, és arra használjuk, hogy kijelölje elemek általában kis betűkkel a latin ábécé. Ha egy eleme M, akkor azt mondjuk, hogy tartozik a beállított M, és használja a rekord Î M, ellenkező esetben, ha a nem tartozik a beállított M, használjuk a jelölést a Ï M.
A különböző alkalmazások diszkrét matematika a leggyakoribb véges készletek. Intuitív értelemben egyértelmű: ezeket a csomagokat tartalmazó véges számú elemet. A véges számú halmaz elemei az úgynevezett teljesítmény a beállított és jelöljük Card vagy | A |. Együtt véges halmazok matematikai felülvizsgálat és végtelen halmazok, azaz azokat, amelyek végtelen sok elemet. Például, több végtelenül természetes számok N, a racionális számok Q, a valós számok halmaza R.