Euler-tétel 1
A neve Mr. Euler, a probléma a három ház és három kút.
Feladat. Három szomszédok három közös is. Lehet tartani nepereseka-yuschiesya számokat minden ház minden egyes jól (1.)?
A probléma megoldására használjuk a tétel bizonyítása Euler 1752-ben.
Tétel. Ha a poligon van osztva egy véges számú sokszög úgy, hogy bármely két vagy sokszög partíció nincs közös pontja, vagy közös vertex, vagy egy közös él, akkor a következő egyenlet írható
ahol B - A teljes csúcsok száma, P - teljes száma élek, G - sokszögek számával (metszettel).
Bizonyítás. Lássuk be, hogy a (*) nem változik, ha felhívjuk a diagonális (2A.) Bármelyik sokszög partíciókat.
Valóban, de miután egy átlós az új partíció lesz csúcsok, P + 1 és az élek száma poligonok eggyel növekszik. Következésképpen, mi van
B - (R + 1) + (T + 1) = B - R + G.
A tulajdonság, felhívni átlós választóvonalat belépő vezető sokszögek háromszögekre, és kapott, míg partíció-megmutatnunk megvalósíthatóságát (*) (2B.). Ehhez követik következetesen tiszta külső bordák, csökkentve a háromszögek. Ebben az esetben két lehetőség van:
a) eltávolítása az ABC háromszög köteles eltávolítani a két szélén, a mi esetünkben, on-AB és BC;
b), hogy eltávolítsuk a MKN háromszöget kell távolítani egyik széle, ebben az esetben, MN.
Mindkét esetben az egyenlőség (*) nem változik. Például, az első esetben eltávolítása után a háromszög gráf áll csúcsok B-1, F-2 és F-borda sokszög 1:
(B - 1) - (P + 2) + (T-1) = B - R + G.
Függetlenül úgy a második esetben.
Így, az eltávolítása az egyik háromszög nem változik az egyenlet (*). Folytatva ezt a folyamatot, mely eltünteti a háromszögek a végén jön a partíciót, amely egy háromszög. Az ilyen válaszfal B = 3, p = 3, R = 1, és így, a B - R + R = 1. Ezért, az egyenlet (*) teljesül az eredeti partíció, ahol véglegességéről-telno kapjunk, egy adott hasító sokszög kapcsolatban (*).
Vegye figyelembe, hogy Euler arány nem függ az alakja sokszög. A sokszögek lehet deformált, növekedés, csökkenés, sőt hajlik részükről, ha csak nem fordul folytonossági oldalán. Euler aránya nem változik.
Most viszont, hogy a problémát a három ház és három kút.
Határozat. Tegyük fel, hogy lehet ezt megtenni. Megjegyzés házak dots D1. D2. D3. és kutak - pont K1. K2. K3 (ábra. 1). Minden pont-ház csatlakozik minden pont jól. Kaptunk kilenc bordát, amelyek nem metszik egymást.
Ezek a bordák vannak kialakítva a gépen a sokszög osztva bo-Lee kis sokszög. Ezért e partíció vypol nyatsya aránya Euler-B - R + R = 1. Hozzáadjuk a figyelembe vett gras yum egy másik - egy külső része a síkban az sokszög. Ezután Euler aránya válik V - P + R = 2 és b = 6 és P = 9. Ezért, T = 5. Mind az öt arcok legalább négy bordák, mivel abban az állapotban a probléma, sem a pálya nem közvetlenül kell csatlakoztatni a két ház, vagy két kút. Mivel minden egyes éle fekszik pontosan két arcok, száma újra BER legalább (8729 # 5; 4) / 2 = 10, ami ellentmond annak a feltételezésnek, amelyen a szám egyenlő a 9. Ez az ellentmondás azt mutatja, hogy a-VET a probléma a negatív - lehetetlen elvégezni nem átfedő számokat minden ház minden lyukba.
1. Egy gráf csatlakoztatva. ha bármely két csúcsa is a szója-dinit szaggatott vonal, amely élek a grafikonon. Döntetlen a csatlakoztatott és a leválasztott Nye grafikonok.
2. Egy összefüggő gráf nélkül zárt vonallánc nevezzük fa. Döntetlen diagramok, amelyek a fák.
3. Mutassuk meg, hogy a gráf egy fa, bármely két csomópont is csatlakoztatható egyetlen sokszög.
4. Igazoljuk, hogy minden egyes fát, amelyben B és P csúcsok élek Euler összefüggés áll fenn: B - P = 1.
5. Adjon példákat grafikonok, melyek V - 1 P ¹.
6. A grafikon nem tartalmaz zárt vonallánc, amelyben etsya erdőben. Legyen erdei fák áll n és B a csúcsot és p d ber. Mi a B - P?
7. Draw grafikonok, amelyben - R jelentése: a) 0; b) 1; c) 2; g) -1; d) -2.
8. Adja meg a partíció konvex négyszög konvex négyszög.
9. Igazoljuk, hogy az egyenlőség tetszőleges partíció a négyszög a quadok - T = 3.
10. megadása bármelyik partíció egy konvex ötszög konvex ötszög.
11. Adja alegységének egy háromszög egy heptagon.
12. Bent a N - M gon vett pontokat. Ezek a pontok és a tetején egy több oldalú sokszög szegmensek vannak csatlakoztatva oly módon, hogy az eredeti sokszög törés etsya háromszögekre. Igazoljuk, hogy míg a háromszögek száma egyenlő 2 n + m-2.
13. A sokszög van osztva egy véges számú sokszög úgy, hogy konvergál a három élek minden csúcs. Hány ugyanakkor voltak-gumik és arcok, ha az élek száma egyenlő: a) 6; b) 12; c) 15? Döntetlen ilyen partíciót.
14. Igazoljuk, hogy bármely partíció az n-szög -gons egyenlőségét m + 2B (2 - m) T = n + 2.
15. A poligon lyukat vágni a sokszög alakú. A fennmaradó rész volt osztva sokszögek. Mi a V - P + D ezt a partíciót?
16. Két szomszédok: a) három közös jól; b) négy közös is. Lehet tartani nepereseka-yuschiesya számokat minden ház minden egyes jól?
17. Három szomszédok: a) két közös jól; b) négy közös is. Lehet tartani nepereseka-yuschiesya számokat minden ház minden egyes jól?
18. Négy szomszéd négy közös is. Lehet tartani nepereseka-yuschiesya pályán a házak az üregekbe, hogy minden ház csatlakozik a három kút, és minden jól a három házak?