Különböző igazolások a tétel a Euler
Különböző igazolások Euler-tétel. A modern elmélet poliéder származik Leonhard Euler munkái 1707-1783 - az egyik legnagyobb matematikusok a világon, akinek a munkája volt döntő befolyása a fejlesztés számos területén a matematika. Euler nem csak egy kiváló matematikus, hanem egy jelentős kreatív. Ők írtak 760 tudományos cikkek folyóiratokban, 40 könyvet, 15 művek különböző versenyeken. Ez befolyásolja a teljesítményt, a tudós, hogy nőtt az egész élet.
Ő került a bizonyítéka néhány figyelemre méltó tulajdonságai vannak, amelyek alá vannak rendelve a test, korlátozott sík felületekből. Tekintsük a különböző igazolások ennek a tételnek. A jövőben ez az anyag is használható választható szakkörök és osztályok, valamint az önálló tanulás a diákok. Mielőtt azonban bizonyíték, úgy az alábbi táblázatban az arcok száma a T-, B - csúcsait P - poliéder élei Cím GV Tetrahedron P 4 4 6 6 négyszögű hasáb augusztus 12 heptagonal piramis 8 ez augusztus 14 ötszögű kettős gúla 10-július 15 pontos dodecahedron december 20 30 most azt látjuk, az összeg r B P minden táblázatos poliéder. Minden esetben kiderült GV-P 2. A következő csak a kiválasztott polyhedra? Kiderült, ez a reláció érvényes tetszőleges konvex poliéder.
Ez a funkció először észre, és bebizonyította Euler. Euler-tétel. Minden valós konvex poliéder r arány B P 2 ahol T - száma élek - a csúcsok száma P és - az élek száma a polihedron.
Bizonyítás. Sok bizonyíték Euler-tétel. Felkérte, hogy fontolja meg a három legérdekesebbek. 1. A leggyakoribb módszer származó munkájában Euler és fejleszteni a munka a francia matematikus Cauchy Auguste 1789-1857 kutatása polyhedra 1811 a következő. Ábrázoljuk a felület egy poliéder rugalmas anyagból készült.
Távolítsuk kivágott egyik oldalán, és a többi szakaszon a sík felületre. Aztán kap a gépen, amely a rács 3. ábra D? G-1 régiók, amelyek továbbra is hívja arcokat. A csúcsok és az élek R amelyek hajlíthatók. Be kell bizonyítani a kapcsolatban T erre rács? A P-1, akkor a poliéder adja Eq. Azt bizonyítja, hogy ez az arány nem változik, ha a rács, hogy tartsa bármely átlós. Sőt, miután egy átlós a rács: D? 1 arcok a vertex P1 és a szélén, azaz D? B 1 R 1 T? B-F. A tulajdonság, felhívni átlós rács, felosztva azokat háromszögek a 3. ábrán, az átlós szaggatott vonalak láthatók, és azt mutatják, az arány szerinti indukcióval n száma háromszögek a háló.
Legyen n 1, azaz a Mesh áll egy háromszög. Ekkor T? 1, B 3, P 3, és a kapcsolatban. Tegyük fel most, hogy a összefüggés áll fenn a rács álló N háromszögek.
Csatlakozott az újabb háromszög. Meg lehet csatlakoztatni a következő módokon: 1. hogyan? Az ABC 3. ábra Ezután a rács áll D? 1 arcok, csúcsok V 1 és P 2 a bordák, és így, a T? 1 1 - P 2 D? A P-2 Hogyan? MNL. Ezután a rács áll D? 1 éle, és a csúcsok P 1 bordák, és ezért, G? B 1 R 1 T? B-F. Így mindkét esetben, vagyis a bármely csatlakozási n 1 edik háromszög, a kifejezés nem változik, és ha az egyenlő 1 a rács n háromszögek, akkor értéke 1, és a rács a n 1 háromszög.
Így a összefüggés áll fenn bármely mesh háromszögek, akkor, bármilyen rács általában. Következésképpen, a kapcsolat a poliéder. Az ilyen bizonyítékok azt sugallják, a 18. Eljárás 2 Euler-tétel bizonyítékot társított megtalálni az összege sík szögek a konvex poliéder. Jelölje meg? A. Emlékezzünk vissza, hogy a lapos szög a poliéder olyan belső sík szöge lapján. Például találunk ilyen poliéder és egy tetraéder négy aspektusát - minden háromszög.
Így. és 4p b kocka 6 arcok - az összes négyzetet. Így. és 6. o 12p, hogy most egy tetszőleges ötszögű hasáb. Ő két arca - ötszög és öt arcot - paralelogramma. A összege a szögek a konvex ötszög egyenlő 3p. Emlékezzünk, hogy az összeg a belső szögek a konvex n-szög egyenlő p n-2. Az összeg a szögek a paralelogramma egyenlő 2p. Így, az S1 2 16P 2P, 3P 5. Tehát, hogy megtalálják? És mi az első összegét, szögek, minden arc tartozás.
Mi használja ezt a technikát az általános esetben. Bemutatjuk a következő jelölési S1, S2, S3 Sr - oldalainak száma 1, 2, 3, és így tovább A legfrissebb arcok a poliéder. Ezután a p p S1-2 S2-2 p Sr-2 p S1 S2 S3 Sr -? 2G. Ezután keresse meg az összes oldalán minden arc a poliéder. Ez egyenlő S1 S2 S3 Sr. Mivel minden él tartozik két oldalát a poliéder, van S1 S2 S3 Sr 2 P visszahívási hogy P jelöli az élek száma a polihedron.
Így kapunk? 2p és F-G. 1 számolni most? És a másik irányba. Ehhez fogjuk változtatni az alakját a poliéder úgy, hogy nem változott a száma G, B, és R. Ez megváltoztathatja a szöget minden lakás külön-külön, de ez a szám? És ugyanaz marad. Válasszon egy poliéder átalakítás lesz az egyik felületén az alap, intézkedik, hogy vízszintesen és nyújtsd, hogy ez lehetett tervezni más arcok a poliéder. Például ábra mutatja 4.a amit kapunk az esetben, ha a tetraéder és ábra 4.b - abban az esetben a kocka. Az 5. ábra a polihedron tetszőleges típusú. Megjegyezzük, hogy a vetített poliéder kondenzált két egymásra helyezett sokszög lemez egy közös kontúr, amelyek közül a felső van osztva T-1 poligon, és az alsó szélén nem osztható.
Jelöljük a számát a sokszög oldalainak keresztül a külső határoló r. Most azt látjuk? Prognosztizált poliéder. és áll a következő három összegek 1 Összeg alsó homloklapja szögek, amelyekkel a felek R, R-p egyenlő 2. 2 összege a szögek a felső lemez, amelynek csúcsai a csúcsai a fenéklappal is egyenlő p r-2. 3 összege belső sarkai a felső lemez van a 2p-R, mivel a felső lemez van a-R csúcsok, és minden belső szögek vannak csoportosítva körülöttük. Szóval r r-r-2 r 2-r 2p 2rV - 4P. 2 Így, összehasonlítva az 1. és 2. kifejezésekben kap Mr. B - P 2, ha szükséges.
Ez a módszer a bizonyítása Euler-tétel a könyvben tárgyalt amerikai matematikus és oktató George Pólya. Március 10 javasolt módszer matematikus LN Beskin. 5. Itt is, mint abban az esetben 1. A vágott tényezője poliéder, és a többi szakaszon a sík felületre.
Ebben az esetben a gépet kapunk egy bizonyos síkidom, például a 6. ábrán látható Képzeljük el, hogy a síkidom ábrázolja, egy sziget, amely körül a tengeren, és áll az egyes területeken - arcok elválasztjuk egymástól, és a vízből gátak - bordákkal.
Kezdjük fokozatosan távolítsa el a gát, hogy a víz van a pályán. Sőt, a gát lehet távolítani, ha határolja víz csak az egyik oldalon. Eltávolítása másik gát, öntözzük pontosan egy területen. Mi most azt mutatják, hogy a szám a gátak, amelyek P - élek száma hozott poliéder a számok összege és a maradék gátak. Így a száma gátak állókép G-1. Valóban, eltávolítjuk a gát, amelyet mosunk vízzel csak az egyik oldalon, mi itatni minden mezőt, hogy arc, amelyek száma egyenlő L-1. mivel az egyik arca volt az első vágás. A 6. ábrán, az 1, 2, 3, 15 mutatják az eljárás eltávolítására a gát. A száma fennmaradó gát jelentése B-1. Megmutatjuk ezt. A 7. ábra a rendszer eltávolítása után az összes lehetséges gát.
Több, mint bármely a gát nem lehet eltávolítani, mivel azok mossuk mindkét oldalán. Továbbá, nem két csúcs rendszerben, például a B és D ábra. 7 nem lehet összekapcsolni a két módon, hiszen máskülönben az eredmény lenne egy zárt áramkört 8. ábra, amelyen belül nem lenne víz, amely ellentmond annak a feltételezésnek, hogy minden mező öntözik a víz. Ebből következik, hogy a rendszer többi része a gátak, hogy egy zsákutca, azaz felső, amely az egyetlen borda.
Mi választjuk ki a vertex, például csúcsából 7. ábra és kövesd az utat, alkotják a gát, és nem fog semmilyen vertex kétszer. A végén, mint a csúcsok száma természetesen azt leáll, például a tetején G 7. ábra Ezután a szegmens-de-sac, azaz top G és a szomszédos, a széle-gát vágva. A továbbiakban a rendszert újra megteszi a vertex, menj el, és levágta a kapott zsákutcából.
Ezzel végül megérkezik egy olyan rendszer, amelyben nem gátak, és csak egy csúcsot, amely továbbra is a vágás után az utolsó zsákutcából. Így a száma gátak egyenlő a maradék B-1. Végül, megkapjuk P D - 1 - 1, ahol H V - P 2. A tétel bizonyított.